預測波動率「說了機率就要兌現」——我們驗證了 20 年數據，發現一個出乎意料的贏家
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你說「10% 機率虧損」，但真的只有 10% 在虧嗎？
[提出: 用戶, 執行: Claude]
想像你雇了一個理財顧問，他每次都說：「這個月虧損超過 3% 的機率只有 5%。」
如果他說了 100 次這句話，那麼其中應該大約有 5 次 真的虧超過 3%——不多不少。
如果實際上有 15 次虧超過 3%，你會怎麼想？你會繼續信任他嗎？
這就是投資風險預測的「誠實度問題」。我們的研究花了一年時間，用 20 年的美股真實數據（2005–2026），徹底檢驗六種波動率預測方法有多「誠實」，結果出乎意料地發人省思。
「說到做到」比「預測準確」更重要
大多數人討論波動率預測，都在問「哪個模型最準確？」，用均方誤差或 QLIKE 這類指標比較。
但還有另一個問題，更直接也更重要： 這個模型說的機率，真的可信嗎？
金融學術界稱之為「校準度（Calibration）」。用白話說就是：
如果模型說「有 5% 的機率單日虧損超過 X」，那在過去 1000 個交易日中，應該大約有 50 天真的超過那個門檻。
如果實際上有 80 天超過，代表模型低估了風險，你以為買了保險，其實保障不足。
如果實際上只有 20 天超過，代表模型高估了風險，你放了太多資金在防守，錯失了漲幅。
兩種情況都會讓你虧錢，只是虧法不同。
我們測了什麼
我們用 SPY（追蹤標普 500 的 ETF）從 2005 年到 2026 年的日報酬，比較了六種預測方法，重點不是哪個模型能算出最精確的波動率數字，而是哪個模型的「機率說話最誠實」。
六種方法如下：
| 方法 | 概念 |
|---|---|
| GJR 常態分配 | 主流 GARCH 模型 + 常態分配假設 |
| GJR 分位回歸 | 用機器學習直接預測各機率門檻 |
| A4f 常態分配 | 更精緻的 MIDAS 模型 + 常態分配 |
| A4f 分位回歸 | A4f + 機器學習分位回歸 |
| A4f Student-t | A4f + 考慮肥尾的 t 分配 |
| 直接分位回歸 | 純機器學習，不用傳統模型 |
評估方式：模型說「有 X% 機率虧超過門檻」，看過去 1325 個交易日中，真實虧超過的比例差多少。
結果：最簡單的分配假設，表現最誠實
圖中的「平均絕對偏差」越低，代表模型說的機率越誠實。 A4f Student-t（搭配 t 分配的模型）以 0.0064 的偏差大幅領先。
拿幾個具體的機率門檻來看：
| 模型說的機率 | A4f Student-t 實際覆蓋率 | 誤差 |
|---|---|---|
| 說 2.5% | 實際 2.26% | 相差 0.24% |
| 說 10% | 實際 10.49% | 相差 0.49% |
| 說 50% | 實際 49.58% | 相差 0.42% |
| 說 97.5% | 實際 98.04% | 相差 0.54% |
幾乎每個機率門檻都近乎完美兌現。
相比之下，「分位回歸」這種更複雜的機器學習方法反而很糟糕：
| 模型說的機率 | A4f 分位回歸實際覆蓋率 | 誤差 |
|---|---|---|
| 說 2.5% | 實際 7.55% | 相差 5.05% |
| 說 50% | 實際 46.72% | 相差 3.28% |
| 說 97.5% | 實際 96.30% | 相差 1.20% |
說「只有 2.5% 機率」，實際上有 7.55% 的機率發生，這就像顧問說「颱風正面來襲的機率 2.5%」，實際卻有 7.55% 的次數真的正面來了。
核心發現：加入「肥尾假設」才是關鍵
為什麼 A4f Student-t 這麼好？
關鍵在於一個被金融學者反覆驗證的事實： 股市報酬不是常態分配（鐘形曲線），它有「肥尾」，極端事件發生的頻率，比我們直覺認為的還要高得多。
Student-t 分配就是一種「有肥尾的鐘形曲線」。我們的模型估計出 SPY 的自由度大約是 8，代表尾部比標準常態分配厚了很多。
這就說明了為何：
- A4f 常態分配 ：在極端情境（2.5% 尾部）略微低估風險
- A4f Student-t ：幾乎完美，因為它用了正確的分配
至於複雜的「分位回歸」機器學習方法，反而因為樣本學習的偏差，在尾部失去了校準性。
對投資人的意義
這個結果非常實際。你平常看到的 VaR（風險值）、停損設定、ETF 風控規則，背後都假設了某種機率模型。
如果你的券商告訴你「這個策略在 95% 的情況下不會虧超過 X」，你現在知道要問的問題是：「這個 95% 是怎麼算出來的？用的是常態分配還是 t 分配？」
常態分配版本可能會讓你以為尾部風險很小，實際上卻比預期高出 60-70%。
好消息是： 我們的研究顯示，正確的分配假設（Student-t）並不複雜，也不需要機器學習，用傳統模型加上一個正確的分配假設，就能讓機率預測接近完美。
複雜不一定更好。誠實的模型，才是真正保護你的模型。
結論
20 年、5000 多個交易日的驗證告訴我們：
- 「校準度」和「預測精度」是兩回事 ，兩個都重要
- Student-t 分配的加入，讓機率預測幾乎完美兌現 （誤差 < 0.6%）
- 更複雜的機器學習方法（分位回歸）反而校準更差 ——在真正重要的尾部區域，偏差高達 5%
- 這對 VaR 風控、停損設定、倉位管理都有直接意義
核心 takeaway：用正確假設的簡單模型，比用錯誤假設的複雜模型更可信賴。
本文基於實驗 K1010 的實證結果（腳本：experiments/k1010/k1010.py，結果：experiments/k1010/k1010_results.json）。 數據來源：yfinance (SPY)，期間：2005–2026，樣本：5,347 個觀測值，OOS 評估：1,325 個交易日。
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