K1073: A4f-GARCH 外生變數選擇敏感度 — VIX9D / VIX / VIX3M / VVIX 在 SPY 的橫向比較

摘要

[提出: Claude] A4f-GARCH（multiplicative GARCH-MIDAS spec, Engle, Ghysels & Sohn 2013）把 long-run variance component τ 直接綁在 lagged 外生變數上。先前 K988 / K1056 / K1066 三個實驗一致用  VIX² (30-day)  當 τ-driver，且 OOS 表現顯著勝過純 GJR baseline。但 CBOE 同時公布 VIX9D（9 日）、VIX3M（3 月）、VVIX（vol-of-vol）三個替代 implied volatility horizon — 換掉 VIX² 真的會更好嗎？還是 VIX² 的選擇本身就是 robust 的？

K1073 在 SPY 2013-01-02 ~ 2026-04-10（OOS n=3330 日，13 年涵蓋 2018 vol spike、2020 COVID、2022 緊縮、2024-25 貿易戰）對 4 個單一外生變數 spec + 2 個多變數 spec（VIX3M-VIX 期限結構斜率、三 VIX 組合）共 14 個模型同步滾動估計（window=2000、refit_every=63、seed=42、L-BFGS-B 三 multistart）。比較指標 Patton (2011) QLIKE，配對檢定用 Newey-West HAC DM，門檻採 Harvey-Liu-Zhu (2016) |t| > 3.0。

主要結論四項：(1)  四個 VIX-family 單變數 spec 在 r²_oc 全部 Harvey-顯著勝過 GJR baseline （r²_oc 的 DM t 全 ≥ +3.17；r²_close 三個五次重跑全部達標、下限 +4.03，VVIX 落在 +2.07 ~ +2.84、五次全部未達標）— A4f 的勝出是「VIX-family 含有 ARCH-memory 之外的額外資訊」這個結構性事實，不是 VIX² 的單一選擇問題；(2)  VIX9D 在兩個目標都 marginal 最佳 ，但 vs VIX² 的差距只在 r²_oc 穩定通過 Harvey 門檻（DM t=+3.53），r²_close 落在 +2.70 ~ +4.47、過不過門檻判不出來；(3)  VIX3M-VIX 期限結構 slope 不增加邊際資訊 （vs A4f-VIX 的 DM t：r²_close 在 -1.10 ~ +1.48 之間、正負號不固定，r²_oc -0.28，FAIL）；(4)  三 VIX 組合 spec 在 r²_close 數值不穩定 （MSE blowup 1.79e+8，θ₂ 共線性導致罕見窗口 σ²_t 爆炸）。 Paper 9 政策建議：保留 A4f-VIX 為主規格，VIX9D 進附錄做 robustness check  — 跨 horizon 的勝負差距太小，且 VIX9D 樣本只回溯到 2011，犧牲歷史涵蓋換有限統計改進不划算。

![圖 1: K1073 五規格在兩個 OOS 目標的 QLIKE 對比](" + CHART1 + ")

研究背景

A4f spec 是把 GARCH 的 long-run unconditional variance 從常數 ω/(1-α-β) 改成「外生 driver 的 lag 變換」：

σ²_t = τ_t · g_t
g_t = ω_g + α·u²_{t-1} + γ·u²_{t-1}·I{u<0} + β·g_{t-1}
u_{t-1} = r_{t-1}/√τ_t
τ_t = θ₀ + θ₁ · X²_{t-1}    (single-X)

其中 X 在過去 K988/K1056/K1066 都是  VIX 。這個選擇沒有理論強制 — Engle, Ghysels & Sohn (2013) 原始 paper 用的是 macro variables（CPI volatility、IP growth），CBOE 後續公布的 VIX9D / VIX3M / VVIX 都是 SPY 直接 implied vol 的 alternative horizon。如果 A4f 的勝出機制是「implied vol 對 future RV 的 market-priced 預期」，那麼 任何 horizon 的 VIX 應該都行，只是程度差別 ；但如果 30-day 對 daily target 是某個特殊最佳 horizon，那麼 VIX² 不可替代。K1073 直接檢驗哪個假說正確。

兩個第二序問題同時測：(a)  加 VIX3M-VIX slope 進 spec 是否提供 term-structure 增量資訊 （A4f-SLOPE）；(b)  同時放三個 VIX horizon 是否更好還是反而退化 （A4f-COMBO）— 後者特別測 collinearity（VIX-VIX9D ρ=0.972, VIX-VIX3M ρ=0.972）會不會把 A4f 拖垮。

方法與數據

模型清單（14 個）：

每個 A4f spec 對 r²_close 與 r²_oc 兩個目標各跑一次，共 12 個 A4f model + 2 個 GJR baseline。

 Lookahead audit（已通過） ：vix_lag[t] = vix[t-1]（在 build_vix2_lag 強制；OOS forecast 在 abs_idx 用 X²_{abs_idx-1}；g-state 跨 refit 連續 carry，無 future-return leak）。

VIX-family 描述統計（full sample 2011-2026）

 Pairwise correlation ：VIX-VIX9D =  0.972 、VIX-VIX3M =  0.972 、VIX-VVIX =  0.692 、VIX9D-VIX3M =  0.907 、VIX9D-VVIX =  0.671 、VIX3M-VVIX =  0.686 。VIX9D / VIX3M 與 VIX 的相關性都極高（接近完全共線），VVIX 是真正的「different content」。

核心發現

發現一：四個 VIX-family 單變數 A4f spec 在 r²_oc 全部 Harvey-顯著勝過 GJR baseline

這是 K1073 最具結構意義的觀察。 不論你選哪個 horizon，只要把 VIX-family 當外生變數丟進 τ_t，OOS QLIKE 就能跨過 Harvey 3.0 門檻 （除了 r²_close 的 VVIX：它在五次重跑中 全部未達標 ；其他七個全過）。

★ = Harvey |t| > 3.0 顯著。r²_close 的 DM 統計量以區間呈現，因為這一組對輸入價格的末位極度敏感：把 SPY 調整後收盤價乘以 1 減 10 的負 9 次方再重跑，每一格都會變；區間兩端是五次重跑的最小值與最大值，★ 代表五次全部達標。r²_oc 那一組五次重跑逐位相同，維持單一數字。

 詮釋 ：A4f 機制的勝出 不在 VIX² 的特殊性 ，而在  implied vol 對 future RV 的市場定價包含 GARCH 遞迴吸收不到的資訊 。連 VVIX（vol-of-vol，跟 VIX 相關性只有 0.69）都能 r²_oc 通過門檻 — 表示 SPY 期權市場對「vol 分布的 second moment」也有 marginal information content。這對 Paper 9 的論述 robust：A4f-VIX 不是 cherry-picked horizon，是「VIX-family 內任意 horizon 的代表」。

發現二：VIX9D marginal 最佳但只有 r²_oc 跨過 Harvey 門檻

直接 head-to-head：

VIX9D > VIX > VIX3M > VVIX 的排序在兩個目標都成立， 且每個相鄰 step 大多都是 Harvey-sig （r²_close 上 VIX9D vs VIX 是唯一例外：五次重跑落在 +2.70 到 +4.47 之間、四次達標一次未達，這份資料判不出它過不過門檻；r²_oc 全 step 過門檻）。

 經濟直覺 ：VIX9D 對 daily forecast 是「最近期 + 對 1-2 日內 vol 最敏感」，理論上 fit 短期變化最好；VIX3M 是「smoother / 較長 horizon」，對 daily 反而過度平滑；VVIX 是「vol 分布的 dispersion」，second-order 訊息對 first-moment forecast 較弱。但 VIX9D 對 VIX 的提升 magnitude 在 QLIKE 絕對值上非常小：r²_close 是 0.2029%（-8.6675 vs -8.6499；換另一次重跑最高到 0.3203%），r²_oc 是 0.2098%（-9.0959 vs -9.0768，五次重跑相同）— 統計上 detectable，經濟上 marginal。

![圖 2: A4f 變體 DM 配對檢定（vs GJR baseline + r²_close 兩兩比較）](" + CHART2 + ")

發現三：VIX3M-VIX 期限結構斜率不提供額外資訊

VIX3M 跟 VIX 高度相關（ρ=0.972），但兩者差（slope）理論上代表「市場對 vol mean reversion 的預期」— 高 slope = 市場預期 vol 會升高、低 slope = 預期會降。把 slope 當第二個 regressor 加進 A4f-VIX 看會不會改善：

 結論 ：term structure information 對 daily SPY RV forecast 是 redundant — 它跟 VIX level 之間的訊息重疊度太高，多加一個 regressor 換不到任何 OOS 改善。Paper 9 不需要保留 SLOPE spec。

發現四：A4f-COMBO 在 r²_close 數值不穩定（multicollinearity collapse）

把 VIX9D² + VIX² + VIX3M² 三個一起放進 τ_t，結果在 r²_close 嚴重退化：

MSE 從 1.53e-7 跳到 1.79e+8（ 約 1.18×10¹⁵ 倍，也就是約 1,180 兆倍 ），代表某些 refit 窗口 τ+多項加總出現負值或極大值，導致 σ² 在罕見天數爆炸（具體機制：θ₂、θ₃ 在 ill-conditioned 矩陣下被估到大絕對值的相反符號，遇到 high-VIX 日就 catastrophic cancellation）。QLIKE 因為是 log-scale 較不敏感，但仍從 -8.6499 退到 -8.4803（DM t 落在 -0.67 ~ -0.63 vs GJR，五次重跑 A4f 都贏不過 baseline）。

A4f-COMBO 在 r²_oc 上反而沒爆炸（MSE = 5.20e-08，DM t=+5.53 vs GJR），這個 target-asymmetry 反映兩個 target 對 τ 與 g 的分解負擔不同 — r²_close 信噪比較低，多參數更容易 overfit；r²_oc 因為截掉 overnight gap 而較乾淨。

 Lesson ：VIX-family 高度共線（pairwise ρ > 0.9），多 horizon 同時放進 A4f 會超出可識別邊界。 保持單變數 spec 。

發現五：θ₁ stability 與預測力呈反向關係（normalization artifact，descriptive）

53 個 refit 跨 13 年的 θ₁ 變動係數（CV = std/|mean|）。右欄是該模型在自己目標上的 OOS QLIKE 名次（r²_oc 的第 2 名是 A4f-COMBO_oc，QLIKE -9.0958，不在本表）。

 Caveat ：這個反向關係 主要是 normalization artifact 。我們的 A4f 用 free ω_g 不強制 E[g]=1（與 Engle, Ghysels & Sohn 2013 原始 GARCH-MIDAS 不同），所以 τ 與 g 不分別 identified — τ·g 乘積本身有效（forecast 沒問題），但 θ₁ 的 absolute scale 在不同 τ-dominated / g-dominated local optima 間跳。L-BFGS-B 跨 refit 在兩個 basin 之間 alternate（bimodal），所以 CV 大；VVIX 因為 magnitude（mean ≈ 96 vs VIX mean ≈ 18）讓 θ₁ scale 自動小，CV 表面上更穩。 θ₁ 穩定性不是 forecast quality 的真實指標 ，這個 ranking 只能 descriptive 看。

實務意義

1.  Paper 9 政策 ：保留 A4f-VIX 為主規格，VIX9D 進 robustness appendix。理由：(a) VIX9D 對 VIX 的改進 magnitude 是 0.20% ~ 0.32% QLIKE，(b) Harvey 3.0 只在 r²_oc 穩定通過，r²_close 落在 +2.70 ~ +4.47、過不過判不出來，(c) VIX9D 樣本只到 2011 比 VIX 短 21 年，crisis-period（2008-09）無法 cover。
2.  A4f robustness narrative 加強 ：「A4f 的勝出不依賴特定 horizon 選擇 — VIX9D / VIX / VIX3M / VVIX 在 r²_oc 全 Harvey-sig 勝過 GJR」是 Paper 9 強而 robust 的論述，比「VIX² 表現很好」更有說服力。
3.  不要嘗試多 horizon 組合 ：VIX-family 共線性高，A4f-COMBO r²_close 數值不穩 + DM 不顯著， 單變數 sufficient 。
4.  Term structure slope 別加 ：A4f-SLOPE 沒贏 A4f-VIX，term structure 訊息對 daily SPY RV 是 redundant。
5.  Cross-asset 推論審慎 ：本實驗只在 SPY；Paper 9 的 cross-asset extension（QQQ/GLD/0050.TW）需獨立做類似 sensitivity，不能直接套用 SPY 結論。

限制與穩健性

1.  Normalization not imposed ：自由 ω_g spec 讓 τ vs g 不分別 identified。τ/σ² 比例僅 descriptive，不可解讀。Forecast σ² = τ·g 仍有效（兩個 basin 的 product 在均衡相同），但參數 trajectory bimodal — 後續可加 E[g]=1 normalization 重估。
2.  Bimodal optimization ：L-BFGS-B 跨 53 個 refit 在 τ-dominated 與 g-dominated 兩個 local optimum 間切換。3 multi-start 找到 basin 後鎖定，但 cross-refit 的 θ₁ 仍跳。 不影響 forecast （兩 basin 的 σ² 預測幾乎一致）。
3.  OOS 起點 2013 ：post-crisis 樣本，無法外推到 2008-09 crisis regime。VIX9D 公布於 2011 是 binding constraint。
4.  VIX-family 多重共線 ：VIX、VIX9D、VIX3M 兩兩 ρ > 0.9。COMBO spec 已證實受影響；單變數 spec 不受影響但 horizon 之間的「真實效力差距」可能比 DM t-stat 顯示的還小（因為 t-stat 反映 loss 序列差，而 loss 已被三個高度相關 driver 中的任一個 absorb 大部分 signal）。
5.  單一資產（SPY） ：跨資產驗證（QQQ、GLD、0050.TW）尚未做。
6.  Single-exog scope ：未測 VIX + macro variables、VIX + realized variance、log VIX、√VIX 等非線性轉換 — 後續可在 K1073 follow-up 做。

結論

 A4f-GARCH 對 VIX-family 外生變數的選擇 robust ：VIX9D / VIX / VIX3M / VVIX 四個 horizon 全部 OOS QLIKE 勝過 GJR baseline，r²_oc 上四個都過 Harvey 門檻，r²_close 上三個穩定過門檻。VIX9D marginal 最佳，且只有在 r²_oc 上「跨過顯著性閾值」這件事是穩定的（r²_close 五次重跑中四次達標、一次未達，判不出來）；VIX² 仍是 Paper 9 主規格的合理選擇（樣本長、結果穩、社群慣例）。

對 Paper 9 寫作的具體影響：

•  Main spec 保持 A4f-VIX 不變 
•  Appendix 加 K1073 robustness ：報告 4 horizons 在 r²_oc 同時 Harvey-sig vs GJR、VIX9D 邊際勝出但 magnitude 小
•  拒絕 SLOPE / COMBO ：term structure 與多 horizon 組合都不提供 incremental forecast value

下一步研究方向：（一） E[g]=1 normalization 重估讓 θ₁ 解讀；（二） log/√VIX 非線性轉換；（三） 跨資產（QQQ、GLD、0050.TW）平行 sensitivity；（四） regime-switching A4f 測試「VIX9D 在 high-vol 規格 vs VIX3M 在 low-vol 規格」的條件最佳化；（五） 預-2008 擴展（VIX/VIX3M 都有歷史，犧牲 VIX9D）capture crisis regime。

本文基於實驗 K1073（腳本：experiments/k1073/k1073.py，結果：experiments/k1073/k1073_results.json，歸檔結果：experiments/k1073/archived/k1073_results_2026-04-12.json，r²_close 五次重跑區間：experiments/k1073/reconciliation/k1073_reconciliation_results.json，README：experiments/k1073/README.md）。數據來源：yfinance（SPY、^VIX、^VIX9D、^VIX3M、^VVIX）。期間：2011-01-04 至 2026-04-10，總樣本 N=3,831，OOS N=3,330（2013-01-02 起），53 個 rolling refit、window=2,000、refit_every=63、random seed=42。統計門檻：Patton (2011) QLIKE + Newey-West HAC DM + Harvey-Liu-Zhu (2016) |t| > 3.0。

 參考文獻 ：

• Engle, R.F., Ghysels, E. & Sohn, B. (2013). Stock market volatility and macroeconomic fundamentals. Review of Economics and Statistics 95(3): 776-797.
• Patton, A.J. (2011). Volatility forecast comparison using imperfect volatility proxies. Journal of Econometrics 160(1): 246-256.
• Harvey, C.R., Liu, Y. & Zhu, H. (2016). …and the cross-section of expected returns. Review of Financial Studies 29(1): 5-68.
• Hansen, P.R. & Lunde, A. (2005). A forecast comparison of volatility models: does anything beat a GARCH(1,1)? Journal of Applied Econometrics 20(7): 873-889.
• CBOE. VIX, VIX9D, VIX3M, VVIX methodology white papers.
• 相關前手實驗：K988（A4f-VIX vs GJR DM t=4.48）、K1056（A4f-VIX 5/5 sub-period 一致）、K1066（A4f_oc vs GJR_oc r²_oc DM t=+7.05）。