K821：SSVS 揭示 GJR-GARCH 方差方程的自足性——8 個外部市場信號全數落選

摘要

[提出: 用戶, 執行: Claude]

Bayesian SSVS（Stochastic Search Variable Selection）是嚴格的變數篩選方法：只有後驗納入機率（PIP）> 0.5 的變數才會被選入模型。K821 將此方法應用到 GJR-GARCH 方差方程，測試 8 個外生市場變數是否有額外預測力。結果出乎意料地明確—— 0 個變數通過門檻，中位數機率模型等同空模型 。這個 null result 本身就是重要發現：GJR-GARCH 的內部結構已足以描述 SPY 波動率，外部市場信號無法提供額外資訊。

研究背景

本實驗是 K484 的姊妹研究，但測試對象從「模型內部元件」轉換到「外部市場變數」。

 K484 的背景（2024 年，SSVS 應用於內部元件） ：

• 測試 GJR-GARCH 方差方程的 5 個內部元件（不對稱項 $\gamma$、歷史波動率、Parkinson 估計量、VIX 水準、隔夜跳躍）
• 結果：4/5 變數 PIP = 1.000，中位數模型選擇「全選 4 個」
• OOS QLIKE 提升 -7.43%（極顯著）
• 結論：內部結構擴充可以改善預測

 K821 的問題（本實驗） ： K484 已確認內部元件有效。K433（均值方程 SSVS）顯示 SPY 均值方程不需要外部宏觀變數。那麼  方差方程呢 ？8 個外部市場信號，信用利差、VIX 動態、利率環境、成交量，是否能在 GJR-GARCH 的基礎上提供額外預測力？

方法與數據

 8 個外生候選變數（均 t-1 lag 避免前瞻偏誤） ：

1. VIX 水準（VIX_level）
2. VIX 日變動量（VIX_change）
3. 超短期 VIX（VIX9D）
4. VVIX 代理（波動率的波動率）
5. TLT 債券波動率
6. HYG 信用利差（高收益債）
7. 期限利差（10Y - 2Y）
8. SPY 成交量比（vs 20 日均量）

核心發現

發現一：0/8 變數通過 SSVS 篩選門檻

全部 8 個外生變數的 PIP 均低於 0.5，中位數機率模型選擇 空模型 （不納入任何外生變數）。

最接近門檻的是 HYG 信用利差（PIP = 0.43），但仍未達 0.5。其餘 7 個變數的 PIP 多在 0.04–0.21 之間，顯示幾乎無納入證據。

發現二：VIX 水準 PIP 僅 0.039——資訊已被 GARCH 吸收

最值得注意的是  VIX 水準的 PIP 只有 0.039 ，幾乎等於零。這並不是說 VIX 無用，而是 GJR-GARCH 的內部動態（$\alpha$ + $\gamma$ 不對稱項 + $\beta$ 持久性）已經透過歷史報酬的 shock 路徑充分捕捉了 VIX 所含的市場恐懼資訊。VIX 是冗餘的，因為 GARCH 本身就是 VIX 的某種內部估計。

對比：K484 中 VIX 水準作為 內部元件 （與 GARCH 參數聯合估計）時 PIP = 1.000。這說明 VIX 的預測力存在，但必須以正確方式整合，不是作為外加的右側解釋變數，而是作為內部的條件波動率輸入。

發現三：OOS QLIKE 提升微乎其微

SSVS 中位數模型（空模型）的 OOS QLIKE 改善僅 -0.07%，DM 統計量 1.03，遠低於 Harvey et al. (2016) 的 t > 3.0 門檻，結論 統計上不顯著 。

有趣的是，强行納入所有變數的 Kitchen Sink 模型可達 -3.09% 的 QLIKE 改善，但仍未通過 Harvey 門檻，且 SSVS 的訊息是：這 3% 的改善背後有過度擬合的風險，不具備選入的統計理由。

發現四：OOS 跨期 PIP 極不穩定

在 4 個 OOS 滾動 refit 窗口中，只有 2023 年 7 月的 refit 選入了 HYG 信用利差（PIP = 0.511，剛好過門檻），其餘 3 個 refit 均不選任何變數。這種不穩定性說明 HYG 的邊際預測力 取決於市場環境 ，在平靜期幾乎消失。

K484 vs K821 對比：內部 vs 外部的根本差異

理論解釋：為什麼 GARCH 是「自足的」？

GJR-GARCH 的方差方程本質上是一個自回歸系統：

$\sigma_t^2$ = $\omega$ + $\alpha$·$\epsilon$²ₜ₋₁ + $\gamma$·I($\epsilon_t$₋₁<0)·$\epsilon$²ₜ₋₁ + $\beta$·$\sigma_t^2$₋₁

這個方程已隱含地追蹤：

•  過去衝擊的大小 （$\epsilon$² 項）
•  衝擊方向 （$\gamma$ 不對稱項，負向衝擊放大）
•  波動率的慣性 （$\beta$ 持久性，0.796）

外生市場變數（VIX 水準、信用利差等）所承載的市場情緒資訊，早已透過 SPY 每日報酬 $\epsilon_t$₋₁ 被 GARCH 的 shock 路徑吸收。外生變數是「訊號」，GARCH 的內部動態是「訊號的提煉器」，後者已包含前者的資訊，再加入前者只是噪音。

研究意義與局限

 意義 ：

1. 強化了 VIX 充分性假設（K433、K818 同一結論），不是 VIX 無用，而是 GARCH 已經吸收了 VIX 的資訊
2. 為 GARCH-family 模型的使用者提供實際建議： 不需要添加外生市場變數到方差方程 ，這只會增加複雜度而不提升預測力
3. 確認 K484 的正確方向：若要改善 GARCH 預測，應從 內部結構改善 （更好的波動估計量如 RV）著手，而非外部信號

 局限 ：

• 測試期間（2011-2026）可能不含足夠的結構性轉變（例如 COVID 前後的市場微結構變化）
• 本研究僅測試 SPY，其他資產（高波動性的個股、新興市場）結果可能不同
• 8 個外生變數是預選的，可能遺漏某些有效的替代數據來源

結論

K821 以貝葉斯統計的嚴格標準確認： GJR-GARCH 的方差方程是自足的 。8 個精心挑選的市場信號（VIX 動態、信用利差、利率環境、成交量）在 SSVS 的篩選下全數落選，OOS QLIKE 改善僅 0.07%，遠低於統計顯著門檻。

這個結論與 K433（均值方程 SSVS，null）和 K818（AR-X 均值方程，null）一致，共同描繪出一個清晰的圖像：SPY 的波動率預測問題幾乎已被 GJR-GARCH 的內部動態充分解決，市場上可觀測的外生信號在此架構下是冗餘的。未來改善的方向，應從模型結構創新出發，而非繼續堆疊更多外生變數。

本文基於實驗 K821（腳本：experiments/k821_ssvs_variance_equation.py，結果：experiments/k821_ssvs_variance_equation_results.json）。數據來源：yfinance 實證數據，期間：2011-2026，樣本：3,833 個交易日，OOS 期間：502 個交易日（2023-01-03 至 2024-12-31）。

參考文獻：So, Chen, Liu (2006) JRSS-C 55(2):201-224；George & McCulloch (1993) JASA 88:881-889；Patton (2011) JoE；Harvey et al. (2016) t>3.0 門檻。