同一個公式，兩種用法，差距天壤之別：VaR 的「記憶長度」決定你的風險計算準不準

 [提出: 用戶, 執行: Claude] 

2020 年 3 月，SPY 在短短 23 個交易日裡跌了 34%。之後大多數模型做了什麼？繼續用 2015 到 2019 年的平靜市場資料，估算出一個「還算正常」的風險數字。結果接下來的違約次數超過預期兩倍以上，銀行監理的交通燈轉成紅色。

這不是模型的計算錯了，是模型的「記憶」太長。

風險模型有記憶問題

用 VaR（Value at Risk）量化投資組合的下行風險，核心問題只有一個： 你拿哪段歷史來估計明天可能的最大損失？ 

最常見的兩種做法：

 Expanding window（滾動式擴充） ：從資料第一天累積到今天，所有歷史都拿來用。用的資料越來越多，估計越來越穩定，但也越來越遲鈍。2020 年的暴跌，被 2010 年代那段超長多頭市場的平靜給「稀釋」掉了。

 Rolling window（固定長度滾動） ：只看最近 252 個交易日（大約一年）。資料始終新鮮，市場換了 regime，模型跟著換。2020 年暴跌之後，一年內這段異常波動就變成計算的核心素材。

直覺上，「用更多資料」聽起來更穩。實際跑出來，是「用更新的資料」贏了。

跨三資產實測：6/6 全通過 vs 4/6

我們用 Cornish-Fisher 展開式（CF）計算 VaR，對 SPY（美股大盤）、QQQ（科技股 ETF）、GLD（黃金 ETF）各做 OOS（樣本外）測試，期間從 2019 年到 2026 年，共約 1,827 個交易日。

Cornish-Fisher 展開式的做法：不假設報酬呈常態分配，而是根據最近的偏度（左偏程度）和峰度（尾端厚度），動態調整分位數。公式本身不變，差別在於輸入這個公式的統計量，是用過去一年（rolling）還是全期（expanding）計算。

評分標準採 Trinity Test，必須同時通過三關：

1.  Kupiec 檢定 ：違約次數是否統計上符合設定比例（2.5% 或 1%）
2.  Christoffersen 檢定 ：違約是否散開，不能一堆連在一起（連串違約代表模型根本沒捕捉到尾端行為）
3.  Basel 交通燈 ：銀行監理基準，紅燈代表超標

結果如下：

（預期違約率 = 2.5%；偏低一樣算失敗，代表 VaR 過度保守，偏高則低估風險）

數據來源：yfinance，OOS 期間 2019-01-01 至 2026-04-10，共約 1,827 個觀測值。實驗 K1034，GJR-GARCH(1,1) 條件變異數。

圖一：六組測試（三資產 × 兩 alpha 水準）的通過情況。CF-Rolling 全綠，CF-Expanding 在 SPY 2.5% 失敗（過度保守），常態分配全紅。

CF-Expanding 輸在哪裡

CF-Rolling 6/6 全過，CF-Expanding 4/6，差距聽起來不大。但 CF-Expanding 輸掉的方式很有意思： 不是低估風險，是高估太多。 

SPY 在 2.5% 水準，CF-Expanding 的實際違約率只有 1.70%，理論值是 2.5%，它給的保護比需要的多 47%。Kupiec 檢定直接 FAIL：「你的 VaR 太高了，跟實際市場行為嚴重不符。」

原因就是記憶太長。2020 年 COVID 崩盤被記下來，加到全期的統計裡，往後幾年還在影響估計。即使市場 2021-2023 年已經恢復，擴充視窗模型仍然「記得害怕」，繼續給出偏保守的 VaR。這不算好事：過度保守的 VaR 讓風控部門誤以為風險比實際大，資本配置失真。

Rolling 視窗的邏輯是：市場有 regime，每個 regime 都有自己的偏度和峰度分布。用 252 天的偏度和峰度調整分位數，讓 VaR 跟著當下市場的尾端特性走，而不是被過去的大事件拖著。

圖二：各方法、各資產、各 alpha 水準的實際違約率。橫線為目標值。CF-Rolling 最接近目標，常態分配和 Student-t 的實際違約率幾乎是目標的 1.5 倍。

常態分配壞在哪

資產偏度和峰度是這樣的：SPY 偏度 -0.80，超額峰度 3.25；QQQ 偏度 -0.73，超額峰度 2.82；GLD 偏度 -0.40，超額峰度 3.17。

換成大白話：三個資產的報酬分配都比常態分配的尾巴厚，而且左邊的尾巴比右邊長（左偏），大跌比大漲更常發生，跌幅也更深。

常態分配假設偏度為零、峰度為 3（超額峰度為 0），直接忽略這兩個特徵。結果在 2.5% 水準，SPY 的實際違約率是 3.72%，比設計值高 49%。Student-t 用 df=8 的固定厚尾調整，比常態好一點，但 df=8 寫死了，不管市場今年是平靜還是動盪，用的都是同一組假設，SPY 還是 3.56%，仍然超標。

CF-Rolling 的做法是每 63 天重新估計 GJR-GARCH，拿最新 252 天的標準化殘差算偏度和峰度，代入：

z_cf = z_α + (z_α²-1)/6 × S + (z_α³-3z_α)/24 × K_excess − (2z_α³-5z_α)/36 × S²

這個調整後的分位數隨市場變，正常年分偏度小、峰度低，VaR 不會算太高；高波動期偏度變大、峰度飆高，VaR 自動往外推。

圖三：在不同偏度水準下，CF 分位數相比常態和 Student-t 的差異。偏度越大（越左偏），CF 給出越大的 VaR 調整量。

不用猜分配，但也不是萬能

CF 最大的優點是「半參數」，用的是 GJR-GARCH 算出的條件變異數，加上從殘差資料直接估計的偏度和峰度，不強迫套常態分配的假設。比純粹的常態 VaR 靈活，比需要假設 Pareto 尾端的 EVT（極值理論）簡單。

但 CF 的限制也真實存在。它是四階近似，當超額峰度超過 10 的時候，這個展開式可能失去單調性，計算出來的分位數會出現不合理的數字。極端市場崩潰的尾端，比四階展開式能捕捉的還要厚。

這次測試也只用 GJR-GARCH 做基底，期間包含 COVID 衝擊，但只是 2019-2026 的一個區間。Rolling 視窗固定 252 天，沒有做敏感度分析看窗口長度怎麼影響結果。

實務上怎麼用

對大多數散戶來說，直接操作 CF-VaR 不容易，但背後的邏輯轉化成投資決策是有意義的：

 靜態風險數字要懷疑。  很多線上工具給你一個固定的「最大損失」估計，背後用的是歷史全期常態假設。這次測試顯示，這類工具在 2.5% 水準的實際誤差接近 50%。

 波動率本身會跟著市場狀態變。  2023 年算出來的 VaR 不等於 2021 年的 VaR，更不等於 2020 年 3 月的 VaR。市場換 regime，風險估計要跟著更新。

 「用越多歷史資料越安全」這個直覺是錯的。  對 VaR 來說，資料新鮮度比資料量更重要。過長的記憶讓模型跟不上 regime 轉換，給出失真的保護。

對機構風控和量化投資人，CF-Rolling + GJR-GARCH 的組合在這次三資產測試裡達到 6/6 完美通過，是目前系統內在不引入外部信號（如 VIX、市場情緒指標）條件下最乾淨的 VaR 解法。若要進一步改良，可以測試 CF 與 A4f 模型的組合（A4f 透過乘法項引入 VIX 等外部因子，K995 已達 12/12 Trinity）。

本文基於實驗 K1034（腳本：experiments/K1034/k1034.py，結果：experiments/K1034/k1034_results.json）。資料來源：yfinance，期間 2005-01-01 至 2026-04-10，OOS 期間 2019-01-01 起共 1,827 個交易日。相關實驗：K995（A4f-t Trinity 12/12）、K1026（Conformal VaR）、K159（EVT-GPD）。