K1980：波動控制的臨界單邊成本等於機會成本除以年換手率，換手最多的 VoV 條件式做法臨界成本反而最低

波動控制（volatility targeting）的成本常被歸到交易成本：每天調倉，手續費和價差吃掉報酬。K1980 用一個會計恆等式檢查這個直覺，結論是： 對 SPY 的三種波動控制做法，「交易成本何時變成主要代價」由機會成本決定。 

一般讀者版〈用恐慌指數調整股票部位，手續費要多高才變成主要代價？〉報告了各做法的保費組成與臨界點。本文處理那篇沒有談的問題：臨界點為什麼落在那裡，換手率與機會成本各自貢獻多少，以及臨界點的三種算法是否一致。

設定

•  資料 ：SPY 還原收盤、VIX、VVIX、聯邦基金有效利率（現金報酬），2012-01-04 到 2024-12-31，共  3261  個交易日；扣除建立警訊基準的前段後， 3201  個交易日的 regime 已知，兩腿只在這些日子累加，年化時除以全樣本長度。
•  三種做法 （股票比重 w，其餘為現金）：
  •  S1 每日 12/VIX ：w 等於十二除以前一天的 VIX，上限為一。
  •  S2 VoV 條件式 ：只有 VVIX 偏高且 VIX 上升時套用 S1 的規則，其餘時間 w 為一。
  •  S3 平滑 VoV ：依 VVIX 的強弱在 S1 的規則與滿倉之間平滑內插。
•  兩腿 ：機會成本腿是持有較少股票放棄的報酬，與交易成本無關；交易成本腿是單邊成本 c 乘以 |w_t − w_(t−1)|，每次變動只收一次。基準假設 c 為  5.0  基點。

恆等式：c* 是機會成本對換手率的比值

交易成本腿等於 c 乘以年換手率，對 c 是線性的。令它等於機會成本腿，臨界單邊成本就是：

c* = 機會成本（%／年）÷ 年換手率（%／年）

三種做法的兩個輸入如下：

這張表有兩個讀法。

 第一，換手率的差距小，機會成本的差距大。  三種做法的年換手率最高與最低相差不到三成，機會成本卻相差六倍以上。c* 的排序因此由機會成本決定。

第二，S2 換手最多，c 卻最低。* S2 大部分時間滿倉，所以放棄的股票報酬少；但它只在條件成立時才減碼，條件一進一出，比重就在一與十二除以 VIX 之間跳動，換手反而最高。單邊 5 基點時，它每年的交易成本是 0.52%，接近機會成本的 0.66%。對 S2 而言，交易成本是保費的主要成分之一；對 S1 而言不是。

引擎精確解（由回測引擎直接求兩腿相等）與恆等式的相對差在萬分之三以內；實驗的閘門 G5 檢查這個相對差，三種做法全數通過。

換手率的分母會改變 S1 的 c*

S1 的規則不需要警訊基準，前段日子也在調倉；S2 與 S3 在前段沒有換手（兩種口徑的 c* 相同）。若把前段日子的換手也算進來，S1 的年換手率從 855.69% 升到 872.09%，c* 從 47.35 降到  46.46  基點；S2 與 S3 的 c* 完全不變。主文採 regime 已知日的口徑，使三種做法在同一組日子上比較。

c* 的不確定性

區間用 stationary bootstrap（期望區塊長度  21  天， 10000  次重抽，seed  42 ）對 regime 已知日的兩腿逐日序列重抽，再以一階近似 c0 × 機會成本 ÷ 交易成本(c0) 計算每次的 c*。

•  S1 ：95% 區間 2.88 到 89.83 基點；機會成本合計不為正的重抽比例是 1.84%。
•  S3 ：95% 區間 -5.70 到 66.85 基點；不為正的比例是 4.5%。
•  S2 ：95% 區間 -32.16 到 32.49 基點；不為正的比例是 32.55%。

三個區間都涵蓋 5 基點。機會成本腿是股票報酬與現金報酬差額的累加，在重抽中可以接近零甚至為負，這時 c* 失去意義；上列比例顯示，機會成本點估計最小的 S2 最常出現這種情形。負的 c* 只是比值的計算結果，不代表成本可以為負。

因此本文的結論是結構性的：c 的位置由機會成本決定*；它不支持「某一種做法對成本特別脆弱」這類精確排序的說法。

對研究設計的含意

• 評估波動控制的交易成本敏感度時，報告換手率不夠， 應同時報告機會成本腿 ；兩者的比值就是 c*。
• 只在條件成立時減碼的設計，換手率不一定較低。比重在兩個水準間跳動的做法，換手可能高於每日連續調整。
• c* 的區間由兩腿逐日序列的重抽得到，與成本格網的疏密無關；要縮小它需要更多樣本，例如延長期間或跨市場合併。

限制

•  描述性分解 ：這是保費的會計拆帳與敏感度分析，不是策略報酬比較，也沒有 alpha 宣稱。
•  固定成本 ：單邊成本不隨交易量、波動或價差改變。
•  單一市場與期間 ：只有 SPY 與現金，2012 到 2024 年。
•  預註冊非盲 ：凍結前已看過 5 基點那一格的結果與據此手算的 c*；未看過其他格網、引擎解與區間。

出處

實驗檔案 experiments/k1980/（程式 k1980.py、結果檔 k1980_results.json、資料快照、審查紀錄）；審查裁決為 PASS，結果檔與裁決釘住的 sha256 相同。本文數字由結果檔逐一讀出，圖由 storage/drafts/k1980_research_charts.py 產生，該腳本先核對結果檔的 sha256 並斷言本文的敘事前提（恆等式、S2 換手最高且 c* 最低、只有 S1 受分母影響）。