過去一年的價格路徑含兩種資訊：高低價口徑下，趨勢項的解釋比例在後段持平，波動項由 0.378 降到 0.175（SPY）、由 0.526 降到 0.147（QQQ）

做指數 ETF 部位大小或風險預算的人，預測波動時通常先用前一天、前一週、前一個月的波動，接著會問一個延伸問題：過去一年價格怎麼走，值不值得多放進預測式。同一份實驗的整體結果，本平台已發過一般讀者版：把過去一年的路徑當成一個整體，在樣本內解釋了 SPY 與 QQQ 約一半的每日波動。這一篇拆開問另一件事：路徑裡的兩個特徵，樣本往後移以後，各自還剩多少。

先寫結論。路徑特徵有兩個，趨勢項記錄過去一年報酬的方向與累積，波動項記錄過去一年震盪的大小。在前 4,490 個交易日（訓練段），波動項單獨解釋的比例高於趨勢項：SPY 是 0.378 對 0.234，QQQ 是 0.526 對 0.182。到了最後 1,925 個交易日（後段），次序反過來：SPY 的波動項只剩 0.175，趨勢項是 0.251；QQQ 的波動項 0.147，趨勢項 0.183。趨勢項在後段的解釋比例和訓練段相近，波動項下降。

第二個結果在預測損失上。把趨勢項加進 HAR 基準，樣本外平均 QLIKE 觀測到下降 7.49%，再加上波動項是 8.79%。這些是觀測到的差異，被比較的模型彼此包含，本文沒有適用於巢狀模型的檢定，所以結論限於這份樣本的描述與單次時間切分。

設定

 資料與口徑。  SPY（追蹤標普 500）與 QQQ（追蹤那斯達克 100）的 Yahoo Finance 調整後日開高低收，2000-01-03 至 2026-07-09，每檔 6,668 個交易日。特徵需要 252 日的歷史，可用於估計的是 2001-01-03 起的 6,415 日。主要的波動指標由當日最高價與最低價推算（Garman-Klass 估計，下稱高低價口徑）；收盤對收盤的平方報酬雜訊較大，當作穩健性對照。本文沒有使用五分鐘資料，高低價口徑只是日資料的代理指標，原研究 Guyon and Lekeufack (2023) 使用高頻資料，本文不是它的複製。

 兩個特徵。  取過去 252 個交易日，權重隨回看的交易日數 k 按 k 的負 α 次方遞減，再歸一。趨勢項對日報酬加權（α 取 1.0），帶正負號；波動項對日報酬平方加權（α 取 0.5），年化後開根號，恆為正。兩個特徵都再落後一日才使用，預測某一天只用到前一個交易日收盤為止的資料。權重參數固定，沒有調校。

 訓練段與後段。  依時間順序切成前 4,490 日與後 1,925 日，只切一次。每個特徵單獨對訓練段做普通最小平方法，再用同一條線算兩段的解釋比例（R²，0 到 1，越大越能解釋）。後段的 R² 以後段自己的平均為比較基準，衡量的是訓練段配出的線能解釋後段多少變異，水準偏移也算進誤差。「兩項合併」是兩個特徵一起放進同一條迴歸。

 預測比較。  基準是 HAR：用前一天、前一週、前一個月的對數變異數預測下一天。採擴張視窗，初始訓練 1,000 日，每 21 日重估一次，共 258 次重估，樣本外 5,415 日，2004-12-29 至 2026-07-09。損失用 QLIKE，越小越好；「損失下降」是挑戰模型相對 HAR 的平均 QLIKE 差，占 HAR 平均 QLIKE 的比例。兩檔資產按日期合併，每個日期只算一次。

結果一：兩個特徵在訓練段與後段的解釋比例

高低價口徑下，兩檔資產的次序都反轉。訓練段裡，波動項單獨的解釋比例高於趨勢項；後段裡，趨勢項高於波動項。QQQ 的波動項在訓練段單獨就有 0.526，已接近兩項合併的 0.592，後段單獨只有 0.147。趨勢項在兩檔資產上的後段數字與訓練段相近。

兩項各自的解釋比例相加，在訓練段超過合併後的比例，表示兩個特徵在訓練段的資訊有重疊。一般讀者版引用的「約一半」是全樣本、樣本內的結果（SPY 0.501、QQQ 0.551），拿到後段來看，合併後的解釋比例是 SPY 0.420、QQQ 0.345。

收盤對收盤口徑的整體水準較低，次序的變化類似：

SPY 的次序同樣反轉，QQQ 的兩個特徵在後段打成平手（都是 0.072）。這個口徑下趨勢項也有縮水，QQQ 從 0.093 降到 0.072，保留的幅度沒有高低價口徑那麼完整。

圖 2 把後段除以訓練段，看每個特徵保留了多少（比值由表中兩段數字相除，已標在圖上）。四種設定（兩檔資產乘兩種口徑）裡，波動項保留的比例都低於趨勢項。高低價口徑下，趨勢項的比值約為 1，波動項不到 0.5；收盤對收盤口徑下，趨勢項的比值比高低價口徑低，波動項的比值略高，兩者的差距縮小，趨勢項仍然較高。這裡沒有比值的標準誤，只有單次切分的點估計，四組方向一致是目前唯一的支持。

兩個特徵的符號也值得記下。高低價口徑、全樣本、兩項合併的迴歸中，特徵標準化後，趨勢項的係數是 SPY 的 -0.041 與 QQQ 的 -0.038，波動項是 +0.050 與 +0.077。過去一年的報酬加權和越高，隔日波動越低；過去一年的震盪越大，隔日波動越高。前者的方向和一般所說的槓桿效應（價格下跌時波動上升）一致。

結果二：加進 HAR 以後的樣本外損失

高低價口徑下，只加趨勢項的版本已經觀測到 7.49% 的下降，再加波動項是 8.79%。分資產看，SPY 由 7.08% 到 8.45%，QQQ 由 7.93% 到 9.15%。收盤對收盤口徑下，數字較小（3.75% 與 5.84%），在趨勢項之後再加波動項的增量，相對於只加趨勢項的版本更大。

這張表有一個限制：實驗只擬合了「HAR 加趨勢項」與「HAR 加趨勢項與波動項」兩個版本，沒有擬合「HAR 只加波動項」。所以兩個特徵各自對損失下降的貢獻無法拆開，上表只能說明加了趨勢項的版本已經有多少下降。

訓練段裡解釋比例最高的是波動項，而預測表裡波動項是排在趨勢項之後才加入的，所以上表的增量是在趨勢項已經進入模型的前提下算出來的。一個待檢驗的可能是 HAR 的三個成分本身就是不同期間的過去波動，與波動項的資訊重疊；本實驗沒有針對這個說法設計對照。

換一個損失函數，結論會跟著動。平方誤差下，SPY 在高低價口徑的變化是 -42.85%（只加趨勢項）與 -209.73%（兩項都加），負號代表變差；QQQ 是 +6.00% 與 +5.26%。同樣的模型，QLIKE 下降，SPY 的平方誤差卻惡化。

這份結果不能說什麼

• 切分只有一次。後段的 1,925 日是同一段連續的歷史，比值與次序沒有標準誤，換一個切點結果可能改變。
• HAR、HAR 加趨勢項、HAR 加趨勢項與波動項彼此是巢狀模型，常用的預測準確度檢定在這種情形下不是有效的推論。本文沒有做適用於巢狀模型的檢定（例如 Clark and West, 2007），所以 7.49% 與 8.79% 只是觀測到的差異，不能說統計上已證實，也不能據此宣稱預測更準。
• 這是日資料代理的診斷。沒有五分鐘已實現波動率，沒有扣除交易與調整成本，也沒有把波動預測接到實際的部位決策。
• 只檢驗了 SPY 與 QQQ，兩檔高度相關，不能當作兩個獨立樣本。
• 權重參數固定為 252 日與兩個 α，沒有依文獻校準，也沒有掃描其他設定。
• 「波動項保留較少」只描述解釋比例的變化，原因沒有檢驗。後段的波動水準與事件結構和訓練段不同，本文不把差異歸因於哪一種市場狀態。

對使用者的意思

引用「過去一年的路徑解釋了約一半的波動」時，要註明那是全樣本的樣本內數字；拿到較晚的一段樣本，合併的解釋比例是 SPY 0.420、QQQ 0.345，其中波動項的貢獻縮水最多。

要把過去一年的路徑放進預測式時，這份結果中，趨勢項是兩個特徵裡在後段較穩定的一個。波動項在 HAR 之外還有沒有增量，需要「HAR 只加波動項」的版本，再配上適用於巢狀模型的檢定，才能回答。

下一步的檢驗有三項：擬合只加波動項的 HAR；對巢狀模型做 Clark and West 檢定；用多個切點或滾動起點重算兩段的解釋比例，給比值一個分布。

資料與文獻

• 價格資料：Yahoo Finance 日開高低收（調整後），SPY 與 QQQ 各 6,668 個交易日，2000-01-03 至 2026-07-09。
• Guyon and Lekeufack (2023), Volatility Is (Mostly) Path-Dependent, Quantitative Finance 23(9)；Liu, Fu and Hong (2025), Forecasting realized volatility in the stock market: a path-dependent perspective, arXiv:2503.00851；Corsi (2009), A Simple Approximate Long-Memory Model of Realized Volatility, Journal of Financial Econometrics 7(2)；Clark and West (2007), Approximately normal tests for equal predictive accuracy in nested models, Journal of Econometrics。

以上分析僅供研究參考，不構成投資建議。