一百個起點，十二次白跑，三次抓到東西——GJR-GARCH 最大概似的局部最優實測

我們先前寫過〈同樣遇到壞消息，台股五檔代表股的波動反應差了快七倍〉，那篇講的是 K1302 估出來的下跌放大係數 γ 在五檔標的之間差多少。那個結論沒有變。這篇要講的是它下面那一層： 那五個 γ 是怎麼估出來的，以及如果當初只用一個起點跑，會不會估到別的地方去。 

這不是修辭問題。GJR-GARCH 的概似函數不保證是凸的，arch 套件預設從一組固定初值出發呼叫 scipy.optimize.minimize，收斂之後回傳一個參數向量，不會告訴你那是全域最大還是它剛好掉進去的那個坑。它回一個看起來完全正常的數字。

K1302 的重建版本（v2）因此改成每個設定跑一百個隨機起點（seed 42 到 141），取 log-likelihood 最高的那一組當作估計值，並把一百個起點各自收斂到的 log-likelihood 全部留在結果檔裡。留著那條分布，才有辦法事後回答「多起點到底有沒有必要」。

實驗設定

五檔標的（鴻海 2317.TW、聯發科 2454.TW、元大高股息 0056.TW、兆豐金 2886.TW、台光電 2383.TW）乘三種設定，共十五個 (標的, 設定) 組合：

•  TWA — 全樣本常態 ：GJR-GARCH(1,1,1)，常態分配，全樣本。這是 Paper 2 Table 2 用的 canonical 設定。
•  TWB — 全樣本厚尾 ：同上但改 Student-t。
•  TWC — 近 1250 日 ：常態分配，只用最後 1250 個交易日。

樣本期間 2008-01-01 至 2024-12-31，全樣本設定的有效觀測數是 4170 筆（0056 為 4173 筆），短視窗設定固定 1250 筆。估計用 arch 的 GJR-GARCH(1,1,1) 搭配 Constant mean，標準誤走 Bollerslev-Wooldridge robust。

判定「一百個起點落在同一個最大值」的門檻設在 log-likelihood 全距 0.001。這個門檻不敏感：十五個設定的全距不是落在 0.0000007 以下，就是跳到 20 以上，中間七個數量級是空的，門檻挪到哪裡結果都一樣。

結果一：十二個設定裡，多起點完全是白跑的

十二個設定的一百個起點收斂到同一個 log-likelihood，最大的全距是 0.00000068——那是浮點數層級的差異，不是不同的解。換句話說，這十二個設定就算只跑一個起點，也會估到同一個地方。

結果二：三個例外，全部集中在厚尾與短視窗

剩下三個設定的全距是：

三個例外沒有一個出現在 TWA。它們全部落在改了分配（Student-t）或改了視窗（1250 日）的設定上。以這份樣本來說，會不會踩到局部最優，是 設定 的性質，不是標的的性質，同一檔聯發科，全樣本常態與全樣本厚尾都乾淨，只有短視窗那一格出事。

三個例外的形狀也不一樣：

•  聯發科·近 1250 日 ：一百個起點全部收斂，但有一個掉到比最佳值低 12471.75 的地方。那不是「稍微差一點的解」，那是完全不同的參數區域。剩下九十九個起點彼此一致。
•  鴻海·全樣本厚尾 ：同樣是一百個起點裡一個離群，差距 23.70。
•  台光電·全樣本厚尾 ：這個最麻煩。一百個起點只有三十一個收斂，收斂的裡面又只有二十八個落在最佳值附近。而且它估出來的持續性是 1.0000（α + γ/2 + β 到浮點精度都等於一），Student-t 自由度 4.99——參數壓在 IGARCH 邊界上，最佳化本來就會在那裡失去識別力。

值得說的是，這三個設定的 最佳起點 seed 分別是 112、48、139 ，都不是第一個 seed。如果當初只跑預設的單一起點，這三格拿到的會是哪個解，沒有任何先驗理由假設它是最好的那個。

結果三：真正上論文的那一欄，一格都沒受影響

K1302 的原始目的是補 Paper 2 Table 2 的 provenance——確認論文正文那五個 γ 與 t 值真的可以從資料重估出來。重估結果對五檔全部 PASS：

γ 的最大偏離 0.00045，t 的最大偏離 0.0041，容差分別是 0.001 與 0.05。全部落在論文四捨五入的位數之內。

這件事要正著讀也要反著讀。正著讀：Table 2 的數字是穩的，因為它用的是 TWA，而 TWA 是十五個設定裡最乾淨的那一類。反著讀： 這份穩定性是事後才知道的 。做這次重建之前，沒有人能從單起點估計的輸出判斷 TWA 屬於「起點無所謂」那一類，那份輸出跟三個例外的輸出長得一模一樣，都是收斂旗標加一組參數。

這份結果能撐到哪、不能撐到哪

能撐的：局部最優在這個模型族裡 確實存在 ，不是教科書的假設性警告；而且它與設定選擇有關聯，十五格裡出事的三格全部不在 canonical 設定上。

不能撐的：十五個設定不足以估「踩到局部最優的機率」，三個例外也不足以說厚尾與短視窗 必然 危險（TWB 有五格，出事兩格；TWC 有五格，出事一格）。這是單一市場、單一估計套件、單一模型族的觀察，樣本量就是十五。

另外一件不能從這份資料推出來的：一百個起點是否「夠」。我們觀察到的是一百個起點裡最好的那個，沒有辦法證明它是全域最大，只能說再多九十九個起點沒有找到更好的。要回答夠不夠，需要的是跨起點數的階梯實驗（十個、五十個、一百個、五百個各跑一輪看最佳值有沒有再動），那不在這次的範圍裡。

給後續實驗的一條操作結論

多起點的成本是線性的，踩到局部最優的成本不是，它不會報錯，會回一個數字，而那個數字會一路走進表格、走進論文、走進文章。這份實驗裡它剛好沒有走進去，但那是運氣，不是設計。

可操作的版本： GJR-GARCH 類的 MLE，只要換了分配或縮了視窗，就把起點分布連同估計值一起存下來 。存了才有對照組；沒有對照組，收斂旗標是一個永遠回 OK 的裝置。

資料來源

本文基於實驗 K1302（experiments/k1302/k1302.py；結果檔 experiments/k1302/k1302_results.json，時間戳 2026-05-16）。資料期間 2008-01-01 至 2024-12-31，樣本為五檔台灣標的日報酬，主要來源為論文 taiwan-vt 的資料檔，備援為 yfinance 快取。文中圖表由 storage/drafts/K1302_research_charts.py 直接讀結果檔繪製，中間數字另存 storage/drafts/K1302_research_evidence.json。