VIX 該選哪個天期？四種 VIX 同台比拚波動率預測力

一、為什麼這個問題重要

談到「市場恐慌指標」，多數投資人腦中跳出來的就是 VIX。但很少人知道，CBOE 其實同時公佈四種不同天期的 VIX 家族指數：

•  VIX9D ：9 天期，最敏感、最快反應
•  VIX ：30 天期，業界標準
•  VIX3M ：3 個月期，最平滑
•  VVIX ：VIX 的波動率，屬於「波動率的二階指標」

對於做波動率預測模型的研究者來說，這個分歧很重要。我們在前期實驗（K988、K1056、K1066）已經確認，把 VIX² 當作 GARCH 模型的外生變數（也就是業界稱呼的 GARCH-MIDAS 或 A4f 規格）能顯著提升 SPY 的波動率預測準確度。但接下來自然要問： 如果改用 VIX9D、VIX3M 或 VVIX，預測會更準嗎？或者其實差不多？ 

這不是吹毛求疵的學術問題。對於做選擇權避險、做波動率交易、做風險預警的實務工作者來說，選錯天期可能導致：

•  過度反應 ：用太短天期的 VIX9D 當訊號，可能把短期雜訊當成趨勢，頻繁變動部位
•  反應遲鈍 ：用太平滑的 VIX3M，碰到突發事件可能來不及調整
•  訊號失真 ：用 VVIX 這種二階指標，可能根本抓不到一階波動率訊號

K1073 這個實驗的目的，就是用嚴謹的統計方法，回答這個業界一直沒有完整回答的問題。

二、實驗設計：14 個模型的同場較量

資料來源

•  標的 ：SPY（S&P 500 ETF）日資料，調整後收盤價、收盤價、開盤價
•  VIX 家族 ：^VIX、^VIX9D、^VIX3M、^VVIX，皆來自 yfinance
•  樣本期間 ：2011-01-04 至 2026-04-10（VIX9D 從 2011 年才有完整資料，這是 binding constraint）
•  總樣本數 ：3,831 個交易日
•  樣本外（OOS） ：2013-01-02 起，共 3,330 個觀察值，約 13 年

模型規格

我們採用 Engle、Ghysels 與 Sohn（2013）的乘法分解架構，把波動率拆成兩個部分：

σ²_t = τ_t · g_t

其中 g_t 是傳統 GJR-GARCH 的短期成分，τ_t 是長期成分，由 VIX 家族驅動。我們設計了七種 τ_t 規格：

1.  GJR baseline ：純 GJR-GARCH，沒有外生變數
2.  A4f-VIX ：τ 由 VIX² 驅動（Paper 9 主規格）
3.  A4f-VIX9D ：τ 由 VIX9D² 驅動
4.  A4f-VIX3M ：τ 由 VIX3M² 驅動
5.  A4f-VVIX ：τ 由 VVIX² 驅動
6.  A4f-SLOPE ：VIX² 加上 (VIX3M - VIX) 期限結構斜率
7.  A4f-COMBO ：VIX9D²、VIX²、VIX3M² 三者一起放

每個 A4f 規格各跑兩個目標：close-to-close 報酬平方（r²_close）與 open-to-close 報酬平方（r²_oc）。

估計與評估

•  估計方法 ：L-BFGS-B 配 3 次 multi-start 起始值，A4f 的負對數似然函數用 numba 編譯加速
•  滾動視窗 ：2,000 天訓練窗，每 63 個交易日（約季度）重估一次，總共 53 次 refit
•  評估指標 ：Patton（2011）的 QLIKE 損失函數（對波動率代理變數穩健）、MSE、MAE、Spearman 相關係數
•  比較檢定 ：兩兩配對的比較檢定（Newey-West HAC 標準誤，落後階數 T^(1/3)）
•  顯著性門檻 ：HLZ (2016) 統計強度 > 3.0 的嚴格統計門檻

Lookahead audit（已通過）

• VIX 落後 1 期：vix_lag[t] = vix[t-1] 在 build_vix2_lag 函式內明確實作
• 樣本外預測在 t 期使用的是 t-1 期已知的 X²，不會洩漏未來資訊
• g 狀態在 refit 之間連續傳遞，不會偷看未來報酬
• 隨機種子固定為 42，重抽樣與起始值搜尋都可重現

三、QLIKE 排名：誰是冠軍？

close-to-close 目標

open-to-close 目標

兩個目標下， VIX9D 都拿了第一 ，但緊追在後的是誰，要看目標。close-to-close 目標下是 VIX，QLIKE 改善落在 0.20% 到 0.32% 之間。open-to-close 目標下是 COMBO，兩者差在小數第四位（-9.0959 對 -9.0958），比較檢定統計強度只有 +0.02，這個名次分不出高下。COMBO 在 close 目標下反而比 GJR baseline 還差，這個目標之間的落差是個有趣的訊號，後面會解釋。

close 排名表的第 2、3 名（VIX 與 SLOPE）差距也很小：把輸入價格改動到小數第九位再重跑，這兩列會互換。第 1 名與最後兩名則每次重跑都不變。

四、比較檢定：差距是真的，但有多大？

光看 QLIKE 排名不夠，必須做正式的 兩模型比較顯著 檢定，看差距是不是統計上站得住腳。

各 A4f 變體 vs GJR baseline（r²_close）

這一欄給區間，因為 close-to-close 這一組的統計量對輸入價格的末位極度敏感：把 SPY 調整後收盤價乘以 1 減 10 的負 9 次方（浮點誤差的量級）再重跑，每一格都會變。區間兩端就是五次重跑的最小值與最大值，中間沒有哪一個值比另一個更「正確」。open-to-close 那一組完全沒有這個問題，五次重跑逐位相同，所以下面那張表給單一數字。

各 A4f 變體 vs GJR baseline（r²_oc）

關鍵頭對頭：VIX9D vs VIX

這才是真正要回答 H1（VIX² 是不是最佳天期）的關鍵：

•  r²_close 目標 ：統計強度落在 +2.70 到 +4.47 之間，五次重跑中四次達標、一次未達—— 過不過門檻，這份資料判不出來 。原始歸檔的那一次落在未達標的一端，單看那一次會判 H1 在 close 目標下為 FAIL；換另一次重跑會得到 PASS，這個判定本身不穩定。
•  r²_oc 目標 ：統計強度 +3.53， 達顯著水準 （H1 在 oc 目標下 PASS）。這個目標的五次重跑逐位相同，判定穩定。

換句話說，VIX9D 確實在兩個目標上都比 VIX 微幅勝出；在 open-to-close 上差距穩定地跨過門檻，在 close-to-close 上則是連「有沒有跨過門檻」都答不出來。

加期限結構斜率有用嗎？

H2 假設加上 VIX3M - VIX 的期限結構斜率作為第二個迴歸子，能再多榨出一點預測力。結果：

•  r²_close ：SLOPE vs VIX 統計強度落在 -1.10 到 +1.48 之間， 連正負號都不固定 ——誰略好這份資料答不出來，唯一確定的是五次重跑都離顯著門檻很遠
•  r²_oc ：SLOPE vs VIX 統計強度 -0.28（VIX 略好，未達顯著）

H2  FAIL 。期限結構的資訊跟 VIX 水準本身高度重疊，加進去沒有額外貢獻。

五、整體結論：VIX 家族都能用，差別不大

把所有結果彙整起來，K1073 給出三個明確結論：

結論一：四種單一 VIX 變體都顯著贏過 GJR

VIX、VIX9D、VIX3M、VVIX 在 r²_oc 目標下 全部 達到嚴格統計門檻（HLZ 2016 統計強度 > 3.0），打敗純 GJR-GARCH。在 r²_close 目標下，前三者五次重跑全部顯著勝出，VVIX 五次重跑全部未達門檻。

 意義 ：A4f-GARCH 框架對 VIX 天期選擇 不敏感 ——重點是「有沒有 VIX 家族變數」，不是「選哪一個天期」。

結論二：VIX9D 微幅勝過 VIX，但實務意義不大

QLIKE 改善在 open-to-close 目標下是 0.21%（五次重跑相同），在 close-to-close 目標下落在 0.20% 到 0.32% 之間。比較檢定統計強度 +2.70 ~ +4.47（close）/ +3.53（oc）：oc 穩定達嚴格統計門檻，close 則判不出來。VIX9D 的歷史比 VIX 短了 21 年（2011 vs 1990），這對長樣本研究是重大限制。

結論三：「越花俏越好」不成立

 這個結論只在 close 目標下成立，oc 目標下不成立。 

close 目標下，A4f-COMBO（同時放 VIX9D²、VIX²、VIX3M²）比 GJR baseline 還 差 （統計強度在五次重跑中落在 -0.67 到 -0.63 之間，逐次數值見 experiments/k1073/reconciliation/k1073_reconciliation_results.json 與 experiments/k1073/archived/k1073_results_2026-04-12.json）。原因：VIX 家族兩兩相關係數都超過 0.9，多重共線性讓最佳化過程不穩定，部分 refit 視窗的 MSE 飆到 1.79e+08——這個崩潰在五次重跑裡每一次都出現，是穩固的現象。

但同一個 COMBO 規格在 oc 目標下與 VIX9D 並列第一，MSE 也完全正常（5.20e-08）。所以正確的說法要加上一個限定詞： 三個一起放，在 close-to-close 這個比較難預測的目標上會壞掉 ；換到 open-to-close，同樣的規格是並列第一。

A4f-SLOPE（VIX² 加期限結構斜率）的情況又弱一級：close 目標的 MSE 在四次重跑中兩次飆到 1.22e+07 與 6.75e+06，另外兩次是正常的 1.5e-07。 它描述的是最佳化過程不穩定，不是資料本身的性質 ——同一份資料，換一條浮點路徑就不崩了。

一個有趣的反直覺現象

如果看 θ₁（VIX 係數）跨 53 次 refit 的穩定性（變異係數 CV）：

 參數越穩定，預測力反而越差 。這聽起來矛盾，但其實是已知的 GARCH-MIDAS 識別問題，我們沒有強加 E[g]=1 的標準化條件，所以 τ 與 g 兩個成分的個別參數可以「自由分工」，但乘積 τ·g 仍然 well-identified（預測本身有效）。研究誠實的角度，這個侷限必須誠實揭露。

六、對 Paper 9 的具體建議

最終建議： 保留 A4f-VIX 為主規格，把 A4f-VIX9D 放進 robustness 附錄 。

理由有四：

1.  邊際改善小 ：QLIKE 改善 0.20% ~ 0.32%，比較檢定統計強度只有一個目標（r²_oc）穩定跨過 HLZ 嚴格統計門檻；另一個目標（r²_close）跨不跨得過判不出來
2.  資料覆蓋窄 ：VIX9D 從 2011 年起，VIX 從 1990 年起。改用 VIX9D 會犧牲 21 年的潛在 OOS 樣本，包含 2008 金融海嘯這種重要的歷史壓力情境
3.  業界先例 ：VIX² 是 GARCH-MIDAS 文獻的業界標準（Engle, Ghysels, Sohn 2013），偏離標準需要更強的證據
4.  強化 robustness ：把 VIX9D 放進附錄，可以證明「A4f 的有效性是 VIX 內容驅動，不是特定天期驅動」，這個 framing 反而強化 Paper 9 的核心主張

七、限制與未來方向

K1073 不是最終答案。誠實揭露五個限制：

1.  標準化未強加 ：自由 ω_g 參數化導致 τ 與 g 個別不可識別。未來 K 應重估 E[g]=1 約束版本
2.  雙峰最佳化 ：L-BFGS-B 在不同 refit 視窗找到「τ 主導」與「g 主導」兩個局部最優解。預測本身一致，但參數軌跡呈現雙峰
3.  樣本起點 2013 ：無法外推到 2008-09 危機期間。VIX9D 可得性是 binding constraint
4.  VIX 家族多重共線性 ：VIX 與 VIX9D / VIX3M 兩兩相關係數 > 0.9，COMBO 規格因此數值不穩定
5.  單一資產 ：只測 SPY。QQQ、GLD、台灣 0050 的跨資產驗證留待後續 K

未來研究方向：

• 用 E[g]=1 標準化重估，讓 τ/σ² 比例可解釋
• 測試 log(VIX) 變換或平方根變換
• 跨資產 VIX 敏感度（QQQ、GLD、0050.TW；對 0050 主用 VIXTWN，VIX 當跨市場 proxy）
• 時變 VIX 選擇：高波動率體制下 VIX9D 是否勝出？低波動率體制下 VIX3M 是否勝出？
• 延伸到 2000 年起，犧牲 VIX9D，但納入 2008 危機

八、給投資人的三個 take-away

1.  「選對 VIX 天期」沒有大家想的那麼重要 ：四種天期全部都比沒有 VIX 的 GARCH 模型好。重點是「有用 VIX」，不是「用哪一個」
2.  更花俏不一定更好，但要看你預測什麼 ：把三種 VIX 一起塞進去，在 close-to-close 目標上會因為共線性而讓模型崩潰；在 open-to-close 目標上它反而與最佳的單一天期並列第一。簡單、單一變數的規格勝在兩個目標上都穩定
3.  歷史長度有實務價值 ：VIX9D 雖然反應快，但只回到 2011；如果你的策略需要驗證跨多次危機（2008、2011、2015、2018、2020、2022），VIX 仍是首選

資料來源

•  實驗代號 ：K1073（A4f Exogenous Variable Sensitivity — VIX9D vs VIX vs VIX3M vs VVIX）
•  資產 ：SPY（S&P 500 ETF）
•  VIX 家族 ：^VIX、^VIX9D、^VIX3M、^VVIX，皆來自 yfinance
•  樣本期間 ：2011-01-04 至 2026-04-10
•  OOS 期間 ：2013-01-02 起，共 3,330 個觀察值
•  滾動視窗 ：2,000 天，每 63 日 refit，總計 53 次重估
•  隨機種子 ：42（可重現）
•  相關 K ：K988（A4f-VIX vs GJR 首次驗證）、K1056（A4f-VIX 跨子期間穩定性）、K1066（A4f_oc vs GJR_oc 在 r²_oc 上首次驗證）、K1024（同 family 跨資產延伸）

參考文獻

• Engle, R. F., Ghysels, E., & Sohn, B. (2013). Stock market volatility and macroeconomic fundamentals. Review of Economics and Statistics, 95(3), 776-797.
• Patton, A. J. (2011). Volatility forecast comparison using imperfect volatility proxies. Journal of Econometrics, 160(1), 246-256.
• Harvey, C. R., Liu, Y., & Zhu, H. (2016). …and the cross-section of expected returns. Review of Financial Studies, 29(1), 5-68.
• Hansen, P. R., & Lunde, A. (2005). A forecast comparison of volatility models. Journal of Applied Econometrics, 20(7), 873-889.
• CBOE. VIX, VIX9D, VIX3M, VVIX methodology white papers.

延伸閱讀

• 債券波動率預測：MOVE 指數真的比 VIX 更懂長天期公債嗎？K1086 一個誠實的『失敗』實驗