模型數學公式總覽

系統中使用的波動率模型

GJR-GARCH(1,1)

條件變異數方程式：

$\sigma^2$t = $\omega$ + $\alpha$ r^2{t-1} + $\gamma$ r^2_{t-1} I(r_{t-1}<0) + $\beta$ $\sigma^2$_{t-1}

其中 $\gamma > 0$ 捕捉 槓桿效應 （負衝擊增加波動率更多）。

GJR-HAR（自建模型）

多尺度版本，在 GJR 的截距中嵌入 HAR 結構：

$\sigma^2$t = ($\omega$ + d_5 \overline{r^2}{5} + d_{22} \overline{r^2}{22}) + $\alpha$ r^2{t-1} + $\gamma$ r^2_{t-1} I(r_{t-1}<0) + $\beta$ $\sigma^2$_{t-1}

其中 $\overline{r^2}_k = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} r^2_{t-i}$ 是 $k$ 天的平方報酬均值。

Adaptive Sigma Floor

VaR 計算使用修正後的 sigma：

$\sigma$^{VaR}_t = \max($\sigma$^{GJR}_t, ; 0.9 \times $\sigma$^{GARCH}_t)

這讓 QLIKE 保持最佳（用 $\sigma^{GJR}$），同時 VaR 有安全底線。

評估指標

 QLIKE Loss ：$L = \frac{RV_t}{\hat{\sigma}^2_t} + \ln \hat{\sigma}^2_t$

 VaR at level  $\alpha$：$VaR_\alpha = -\Phi^{-1}(\alpha) \times \sigma_t$

目前最佳績效