槓桿要開到幾倍：把真實融資成本放回去之後，中位數年化在兩倍見頂

有一個決定，長期投資人遲早會遇到：要不要用槓桿把長期報酬往上推，如果要，推到幾倍。

市面上的討論通常停在「槓桿放大報酬也放大風險」。這句話沒錯，但它不能幫你選倍數。要選倍數，你需要知道報酬對曝險的曲線長什麼形狀，它是一路往上，還是中間有一個頂點，而那個頂點在哪裡。

這篇文章把這條曲線畫出來。資料是實驗 K1700 的三十年滾動視窗，範圍近百年的美股含息報酬。

先交代與前作的關係。K1700 的第一個結果（近百年沒有任何一個三十年做到年化 15%，中位數 10.78%，史上最好的一段 14.70%）已經寫過兩篇讀者向文章。那兩篇的主張是「目標本身超出歷史上界」。這一篇問的是下一層問題：既然無槓桿做不到，槓桿這條路的形狀是什麼，而它能不能撐住這個目標。答案不是「不行」三個字，是一個有頂點的曲線和一組可以拿去做決定的數字。

做法

曝險倍數取一倍、一點五倍、兩倍、三倍四檔，每日再平衡。融資成本用兩種假設分別跑：

一種是免費借貸，借錢不用錢。它不成立，但它是理論上界，用來把「借貸成本造成的損失」隔離出來。

另一種是實際短率加一個百分點：當期 FRED 三個月國庫券利率，加上券商加碼。這一組因為受限於利率資料起點，視窗數是 15744 個，起點從一九三四年一月起算；免費借貸那組是 17238 個，從一九二八年一月起算。兩組不完全可比，比較時要記住這件事。

融資成本不是一個固定的折扣

先看兩條曲線的差距。

兩條曲線的距離，一點五倍時是約兩點八個百分點，兩倍是約六個百分點，三倍是約十三點七個百分點。

把它換算成「每借進一單位曝險付出的代價」：零點五單位借款吃掉約五點六個百分點的年化，一單位吃掉約六個百分點，兩單位吃掉約六點九個百分點。代價不是等比放大的，是隨借款規模遞增的。原因不在利率本身，而在借款成本是每天從曝險部位裡扣掉、再拿剩下的去複利，扣掉的部分不會參與後面三十年的複利，而它被扣掉的次數與規模同時放大。

還有一個時間點上的問題，它比上面那個更難繞過。實驗記下了融資利率的分布：一九三四年以來三個月國庫券的平均是 3.42%，但一九七〇到一九九〇年代那段的平均是 6.66%。而槓桿表現最好的那些視窗，起點正好落在一九四二年四月與一九七〇年七月。 槓桿最有利的那段歷史，恰好也是借錢最貴的那段歷史。  這代表任何用一個固定利率（例如 4%）去回測槓桿的做法，都會系統性地美化槓桿，而且美化幅度最大的地方正好是它看起來最漂亮的地方。

中位數在兩倍見頂

看那張圖的藍線。它不是單調往上的。

實際融資成本下，中位數年化在兩倍達到 13.75%，到三倍反而掉到 12.94%。多借一倍的錢，中位數報酬變低。

達標比例（年化 ≥ 15% 的視窗佔比）確實還在升，兩倍是 31.40%、三倍是 33.54%，但那多出來的兩個多百分點來自分布右尾被拉長，不是中間那一塊變好。同一組三倍路徑的第五百分位是 7.49%——比完全不借錢的中位數 10.78% 還低。

即使在免費借貸這個不可能的上界裡，達標比例從兩倍的 95.67% 到三倍的 95.43% 也已經停止上升。所以頂點有兩個來源：一個是融資成本，一個是波動拖累（每日再平衡下，倍數放大波動，而複利對波動的懲罰是二次的）。前者可以靠更便宜的資金部分改善，後者不行。

回撤那一側沒有頂點

報酬曲線有頂點，回撤沒有。

最後一欄是兩個中位數相除，不是路徑層級的比率，只能當粗略對照。但方向很清楚：從一倍到三倍，這個比值單調下降，沒有任何一檔倍數讓它變好。也就是說，在這個資料裡，槓桿沒有在任何一點上提供「更有效率」的報酬，它只是把同一條路走得更陡。

那 31.40% 到底有多硬

這裡要停下來講一件對研究讀者更重要的事：上面每一個百分比的統計強度都很弱，而且是結構性的弱。

滾動視窗以每個交易日為起點，相鄰視窗共用將近三十年的資料。實驗自己算了獨立視窗數：免費借貸那組 17238 個視窗只相當於 3.29 個互不重疊的三十年，實際融資那組 15744 個視窗相當於 3.09 個。

所以「兩倍達標比例 31.40%」這句話的正確讀法不是「有三成機率會成功」。它是：在大約三個互不重疊的三十年裡，有一段左右的期間，兩倍槓桿的路徑走到了 15%。這個數字沒有信賴區間可算，任何對它做假設檢定的動作都是在對三個樣本點做檢定。

這不是資料清理能解決的問題。要拿到第十個獨立的三十年視窗，需要再等三百年。它是這類長期問題的天花板，而不是這個實驗的缺陷，重點是不要把描述統計的小數點後兩位當成推論精度。

這些數字幫你省下什麼

回到最初那個決定。

 倍數不用再比了。  如果目的是把長期年化推到 15%，兩倍與三倍不是「更積極一點」的選項差異，三倍在中位數上比兩倍差。要比較的兩個候選其實只有一個。

 融資利率的情境試算可以少做一輪。  常見做法是拿一個固定利率去試算槓桿長期報酬。這個實驗說明了為什麼那樣算不準：利率與槓桿有利的期間在歷史上是同時出現的，固定利率會把兩者的相關性抹掉，而抹掉的方向永遠對槓桿有利。要試算就得用當期利率序列，不能用平均值。

 回撤要當成入場條件而不是風險指標。  兩倍那條路的中位數最大回撤是 -75.28%。中位數的意思是一半的路徑比這更深。決定要不要走這條路之前，該問的不是「我能承受多少風險」，是「我能不能在帳面剩下四分之一的時候不賣」。

而如果這三件事的答案讓人退回原點，那也是這個實驗給出的資訊：無槓桿的中位數 10.78%、三十年下來本金約二十二倍，比 15% 的 66.21 倍少很多，但它在近百年的資料裡出現過一萬七千多次，而 15% 出現過 0 次。

限制

一九二八到一九八八那段沒有現成的含息指數，含息報酬由 Shiller 月股息率合成。與一九八八年後現成含息指數的重疊區驗證，年化誤差 -0.06 個百分點。

槓桿路徑假設每日再平衡、無交易成本、無內扣費用，真實槓桿商品比這更差，所以本文所有槓桿數字都是對槓桿有利的上界。三倍的單日報酬在計算上設了下限（單日不得低於負九十九個百分點），實務上那類路徑已經爆倉。

最大回撤以日收盤計，盤中更深的瞬間未計入。免費借貸組與實際融資組的樣本期間不同（前者自一九二八年，後者自一九三四年），兩組之間的差值同時包含融資成本與期間差異，本文把它整體歸給融資成本是簡化。

資料：美股價格與含息指數取自 yfinance（^GSPC、^SP500TR）；股息率取自 Shiller ie_data 月頻序列（econ.yale.edu）；融資利率取自 FRED 三個月國庫券利率（TB3MS）加一個百分點券商加碼。滾動視窗以每個交易日為起點，樣本重疊，所有分位數為描述統計而非統計檢定。本研究不含抽樣或模擬程序，故無隨機種子。全文數字逐一對應 experiments/k1700/k1700_results.json。