K781：把波動拆成慢乘快，5 個參數換不到統計上可辨識的改善

[提出: 主線程, 執行: Claude]

一般讀者版（mile_35863986）已經報過這次比較的名次與結論。這一篇處理那篇刻意略過的部分： 模型的正式設定、推論是怎麼做的、參數估出來長什麼樣，以及這個結論在什麼條件下不成立。

一、命題與模型設定

被檢驗的命題是：把條件變異數拆成一個緩慢移動的水位與一個快速的偏離、兩者相乘，能不能 在樣本外贏過直接對報酬建模的 GJR-GARCH(1,1)。

MVF（multiplicative volatility factor）的設定是

σ²_t = exp(f_t) × g_t
f_t  = ρ·f_{t-1} + (1-ρ)·log RV66_t
g_t  = ω_g + α_g·z²_{t-1} + γ_g·z²_{t-1}·1{r_{t-1}<0} + β_g·g_{t-1}
z²_t = r²_t / exp(f_t)

f_t 是 66 個交易日已實現變異數取對數後的指數加權平均，g_t 是對去趨勢平方報酬跑的 GJR 型過濾器。參數共 5 個（ρ、ω_g、α_g、β_g、γ_g），比 GJR-GARCH(1,1) 的 4 個多一個。

對照組四個：GJR-GARCH(1,1)（4 參數）、AMEM-r2（5 參數，Gamma 誤差的不對稱 MEM）、 GARCH(1,1)（3 參數）、HAR-r2（4 參數）。

二、資料與滾動設計

標的 SPY，資料來自 yfinance 日收盤價，全期 2007-01-04 至 2026-03-31，共 4,840 個交易日。

估計採滾動重估：最短視窗 750 個交易日，每 63 個交易日重估一次參數，全程重估 65 次， 每次只用該時點以前的資料，往後做一步預測。評分區間 2009-12-24 至 2026-03-31， 共 4,090 個樣本外交易日。

評分用 QLIKE，代理變數是當日平方報酬。選它的理由是 Patton (2011) 的 proxy-robust 性質： 即使 r² 是條件變異數的雜訊代理，用 QLIKE 排出來的模型順序在期望上不會因為代理誤差而 系統性偏向任何一方。這是本文所有排序結論的前提。

三、樣本外結果

五個模型的 QLIKE：

MVF 與冠軍的差距是 0.012566。

Harvey 修正後的 DM 檢定：MVF 對 GJR-GARCH 的 t = 0.6941，p = 0.487576，未達 |t| > 3 的 Harvey 報告門檻，也未達 |t| > 2。同一批比較裡，GARCH 對 GJR-GARCH 是 t = 3.6763，HAR-r2 對 GJR-GARCH 是 t = 5.1621，這兩個過門檻；AMEM-r2 的 t = 2.7758 落在 2 與 3 之間。

模型信賴集（Hansen, Lunde & Nason 2011）在 $\alpha = 0.1$、$B = 5{,}000$ 次拔靴下的淘汰順序是 HAR-r2（p = 0.0）、GARCH（p = 0.0016）、AMEM-r2（p = 0.0222）。存活兩個：MVF 與 GJR-GARCH，p 值並列 0.4984。

所以這次比較有兩個層次的結論，強度不同。被拒絕的是後三名，那有統計把握； MVF 與 GJR-GARCH 之間分不出來，這是「無法辨識」而不是「已證明相等」。

四、穩健性

 三段子樣本。  把 4,090 天等分三段各自重算 QLIKE：

第一段與第三段 GJR-GARCH 第一、MVF 第二。中段冠軍換成 AMEM-r2（1.663485 對 1.664034， 差 0.000549，這個幅度不支持任何結論），而 MVF 在該段掉到第四。MVF 的名次在三段裡於 第二與第四之間移動；第一段它與冠軍差 0.001308，第三段差距擴大到 0.025766。

 波動情境。  按當期波動水位中位數切兩半：

前四個模型在高波動期都略差，幅度介於 0.003461 與 0.007502 之間。HAR-r2 方向相反， 從 1.694924 降到 1.621725，改善 0.073199 —— 它靠三種長度的歷史平均推估，反應遲鈍， 在持續數日的大震盪裡遲鈍反而接得住。它整體仍是最差的一個。

 另一個損失函數。  預測值與實際 r² 的 Spearman 等級相關：GJR-GARCH 0.3874、 MVF 0.3812、AMEM-r2 0.3445、GARCH 0.3369、HAR-r2 0.3211（各模型 p 值皆為 0.0）。 排序與 QLIKE 完全一致，兩個獨立的評分口徑給出同一個順序。

五、參數診斷：兩個邊界解

全樣本估計出來的參數裡有兩處值得記錄。

 第一，MVF 短期層的 α_g 被估在 0。  最佳化的下界就是 0，所以這是邊界解。 短期動態全部由不對稱項承擔，$\gamma_g = 0.320320$。這有兩個後果：一是該層退化成只對負報酬 反應的設定；二是邊界上的標準誤與 t 檢定不再適用標準漸近理論，任何對這個係數做的推論 都要另外處理。

 第二，$\rho = 0.9$ 不是估出來的。  它是在 [0.90, 0.93, 0.95, 0.97, 0.98, 0.99, 0.995] 這 7 個候選值上做格點搜尋選出來的，而選中的是格點的最低端。格點下界被選中，意味著 概似可能還想往更低的 ρ 走，只是格點不給。也就是說 MVF 名義上的 5 個參數，實際上只有 4 個 在連續空間裡被估計，第 5 個是從 7 個離散選項裡挑的，而它挑到了邊上。

持續性方面：GJR-GARCH 的 $\alpha + \beta + \gamma/2 = 0.978365$，MVF 短期層是 0.921767。 長期成分把慢速記憶接走之後短期層不需要記那麼久，這與模型設計一致 —— 但設計說得通 不等於預測更準，這正是本次比較的結果。

六、一個尚未量化的實作疑點

在讀 experiments/k781/k781_mvf.py:227-285 時注意到一件事，這裡如實記錄， 但不宣稱它會改變結論方向。

格點搜尋用同一個目標函數比較 7 個 ρ：對去趨勢後的 z² 做高斯擬概似 $-0.5 \cdot \sum [\log g_t + z^2_t/g_t]$。問題在於 $z^2 = r^2/\exp(f)$ 依賴 ρ，所以不同 ρ 底下被解釋的 不是同一個變數。要讓概似值可以跨 ρ 比較，需要把變數變換的 Jacobian 加回去 （對 r² 的對數概似 = 對 z² 的對數概似 − Σf_t）。程式碼裡的目標函數沒有 −Σf_t 這一項。

這對結論的影響方向我沒有量化，也沒有重跑，所以這裡只標記為待驗證的觀察，不作為結論的一部分。 要量化它，需要把 Jacobian 補進目標函數後重跑整條滾動流程，看選中的 ρ 是否改變、 以及 QLIKE 是否移動到足以改變 DM 或 MCS 的判定。在那之前，本文所有數字都是在 現行實作下產生的，包含 $\rho = 0.9$ 這個選擇本身。

七、這個結論在什麼條件下不成立

•  單一標的。  全部結果來自 SPY。乘法分解在波動結構不同的市場（例如個股、新興市場指數、 或有明顯日內季節性的商品）是否仍然無法勝出，本次沒有回答。
•  單一代理變數。  評分用日平方報酬當條件變異數的代理。改用已實現變異數或已實現核估計 當標的，QLIKE 的雜訊會下降，原本分不出來的 0.012566 有可能變得可辨識。這是最有機會 推翻「無法辨識」判定的一條路。
•  日頻、一步預測。  沒有測更長的預測期。慢速成分的價值本來就更可能出現在多日期限上， 本次設計對 MVF 這個方向並不有利。
•  ρ 的格點。  選中的是格點下界，格點外的 ρ 沒有被檢驗。
•  α_g 的邊界解。  該係數的推論需要非標準處理，本文未做。
•  未修正的 Jacobian。  見第六節。

反過來說，有一個結論比較穩：HAR-r2、GARCH、AMEM-r2 三者輸給 GJR-GARCH，在 DM 與 MCS 兩個口徑下一致，而且跨三段子樣本沒有翻盤。這部分不依賴上面任何一條但書。

八、文獻定位

MVF 屬於乘法型成分波動模型這一系。同一系裡 Engle, Ghysels & Sohn (2013) 的 GARCH-MIDAS 用 MIDAS 加權把低頻變數接進長期成分，Conrad (2025) 的 MF2-GARCH 則讓長期成分由已實現量 驅動。本次實作的長期成分是 log RV66 的指數加權平均，比前兩者簡單，代價是 ρ 需要外生選擇。

評分與推論用的三件工具分別來自 Patton (2011) 的 proxy-robust 損失函數、 Diebold-Mariano 檢定的 Harvey 小樣本修正、以及 Hansen, Lunde & Nason (2011) 的模型信賴集。 對照組的來源是 Glosten, Jagannathan & Runkle (1993)、Engle & Gallo (2006) 與 Corsi (2009)。

九、數據來源

• 實驗：experiments/k781/，結果檔 k781_mvf_results.json
• 資料：yfinance SPY 日收盤價，2007-01-04 至 2026-03-31，4,840 個交易日
• 樣本外：2009-12-24 至 2026-03-31，4,090 個交易日，65 次重估
• 本文兩張圖由 storage/drafts/k781_research_charts.py 程式化讀取結果檔產生，無硬編數值
• 一般讀者版：mile_35863986