PRG 跨資產驗證：科技股、黃金、新興市場三市場全面實測

為什麼要做這個實驗？

波動率預測模型的「實驗室成績」與「跨市場成績」往往是兩回事。一個在 S&P 500 表現亮眼的模型，搬到黃金、新興市場、台指期上常常水土不服，這是學術界與實務界共同面對的老問題。

本研究團隊先前在 PRS（Periodic-Recursive Splitting，已發表於 Asia-Pacific Financial Markets 2019）與 PRG（Periodic-Recursive GARCH）框架上，於台指期（K874e 系列）驗證了「把日盤、夜盤分開建模再組合」可以顯著贏過傳統 GJR-GARCH。但一個自然的質疑是：這個結果會不會只是台指期「日盤夜盤分離度極高」這個特殊結構造成的？換到隔夜佔比較低的科技股、隔夜佔比較高但無槓桿效應的黃金、波動結構複雜的新興市場，PRG 還會贏嗎？

K881 就是為了回答這個問題。我們選擇三個結構截然不同的美國 ETF：QQQ（Nasdaq-100 科技股）、GLD（黃金）、EEM（新興市場），用相同的方法論做端到端對比。

資料來源

• 實驗編號 ：K881（PRG Multi-Asset Validation）
• 資料來源 ：yfinance 日頻 OHLC
• 資產與樣本期 ：
• QQQ ：2000-01-04 至 2026-04-02，共 6,601 個交易日（IS 4,620／OOS 1,981）
• GLD ：2004-11-19 至 2026-04-02，共 5,375 個交易日（IS 3,762／OOS 1,613）
• EEM ：2003-04-15 至 2026-04-02，共 5,778 個交易日（IS 4,044／OOS 1,734）
• 訓練／樣本外切分 ：is_fraction=0.7（前 70% 估計、後 30% 樣本外驗證）
• 重估頻率 ：GJR／HAR 每 63 日、PRG 每 252 日

所有報酬與波動率計算都採用「t-1 日的資訊預測 t 日」的標準 lag 規範，預測時點所用的條件變異數 σ̂² 僅用前一日及更早的資料估得，沒有 lookahead 風險。樣本外 QLIKE、VaR、Diebold-Mariano（DM）統計量全部在 OOS 區間計算。

三個市場的「隔夜成分」差很大

PRG 框架的核心觀察是：日盤波動和夜盤波動有不同的生成機制。在進入模型比較之前，我們先看三個市場的隔夜成分佔比（隔夜變異佔全日變異百分比）：

光是這三個數字就告訴我們：QQQ 與 GLD／EEM 的「隔夜結構」幾乎是相反的兩個世界。如果 PRG 的優勢真的來自「正確處理日夜分離」，那麼在三種結構都成立才算真正過關。

五個模型的橫向對比（樣本外 QLIKE）

QLIKE 是 Patton (2011) 推薦的波動率預測損失函數，理論上對 σ² 的雜訊代理（如平方報酬）穩健。 數值越小代表預測越準。

三個市場下的最佳模型 ：

• QQQ：PRG_Extended（QLIKE=0.7652，比 GJR 改善 7.3%）
• GLD：PRG_Basic（QLIKE=0.8115，比 GJR 改善 10.0%）；PRG_Extended（0.8204）緊追在後（比 GJR 改善 9.1%）
• EEM：PRG_Extended（QLIKE=0.6641，比 GJR 改善 16.0%）

PRG 家族在 3/3 市場拿下最佳 QLIKE ——但要注意，在 GLD 是 PRG_Basic 略勝 PRG_Extended，雖然兩者差距在統計上並不顯著（DM 統計強度 -0.75，達顯著水準（顯著性 0.45），未通過 Harvey 顯著性門檻）。換言之 GLD 上 Basic 與 Extended 平分秋色，並非「Extended 全面壓制」。

Diebold-Mariano 顯著性檢定（採 Harvey 修正）

「QLIKE 數字小就是贏」還不夠嚴謹，可能只是樣本誤差。DM 檢定（搭配 Harvey/Leybourne/Newbold 1997 的小樣本修正）告訴我們，這個差距在統計上是不是真的存在。Harvey PASS 的標準是修正後 統計強度 達到顯著（雙尾 達顯著水準（顯著性低於 0.05））。

PRG_Extended vs GJR-GARCH（最關鍵的比較） ：

3/3 市場 Harvey PASS。 這是支持「PRG 優勢具普遍性」最直接的證據。

Cross-recursion 檢定（PRG vs Separate_GARCH） ：

這個比較回答另一個關鍵問題：PRG 的價值是來自「分日夜建模」這件事本身，還是「日夜共享資訊（cross-recursion）」？Separate_GARCH 是日夜各自獨立 GARCH 不交互，PRG 則允許日盤訊息影響隔夜變異、隔夜訊息影響日盤變異。

3/3 市場 Harvey PASS。 這意味著 PRG 的價值不只是「分日夜」，更關鍵的是「日夜訊息互相提供條件」這層 cross-recursion。單純切兩段各自跑 GARCH（即 Separate）會輸掉相當大一截。

VaR 回測：PRG_Extended 在實務面的成績

預測波動率最終的應用之一是風險管理，所以我們進一步看 VaR 違例率（實際虧損超過預測 VaR 的天數比例）與 Kupiec POF 檢定。

VaR 1% 與 5% 的 Kupiec p-value（PRG_Extended） ：

這裡是必須誠實揭露的細節 ：PRG_Extended 在 QQQ／GLD 兩個市場 VaR 1% 與 5% 全部通過 Kupiec 檢定，但在 EEM 則「過度保守」，預測的 VaR 比實際需要的還大，導致違例率顯著低於設定的 1%／5%。Kupiec 檢定不只懲罰違例過多，也懲罰違例過少，因為過度保守意味著資本配置浪費。

這個結果的意義是：PRG_Extended 在 EEM 市場上的點預測（QLIKE 最佳）很強，但在尾端風險刻度（distribution tail calibration）上偏保守。對風險經理而言，這是「安全但成本偏高」的偏誤，並非危險的錯估方向。後續可考慮對 EEM 改用 Student-t 殘差分配或對尾部做 EVT 修正。

關鍵發現整理

1. PRG 家族在 3/3 資產拿下最佳 QLIKE （QQQ／EEM 是 PRG_Extended 第一，GLD 是 PRG_Basic 第一）。
2. PRG_Extended vs GJR-GARCH：3/3 市場 Harvey PASS （統計強度 4.26／6.12／6.63），統計上顯著優於目前業界主流的非對稱 GARCH。
3. Cross-recursion 價值：3/3 市場 Harvey PASS （統計強度 -5.47／-5.16／-6.34），證明 PRG 的優勢來自日夜訊息交互建模，而不只是「分兩段」。
4. Basic vs Extended 在 GLD 沒有顯著差異 （DM 統計強度 -0.75，達顯著水準（顯著性 0.45））；在 EEM 雖然 Extended 數字較好，DM 統計強度 2.10 但 Harvey 修正後不顯著。意思是「升級到 Extended」在某些市場帶來邊際改善但未必統計上必要。
5. VaR Kupiec 檢定 4/6 通過 （QQQ 1%／5%、GLD 1%／5%）；EEM 1%／5% 因過度保守而 FAIL，需要尾部修正。
6. 隔夜佔比與 PRG 相對改善的相關性 ：跨三市場相關係數 0.50，提示「夜盤越重要，PRG 改善幅度越大」的趨勢，但 3 個資料點不足以下定論，需要更多市場驗證。
7. Model Confidence Set 全模型存活 ：在 α=0.10 下，5 個模型在 3 個市場都沒被踢出 MCS。這提醒我們即便 DM 顯著，模型差異在 MCS 框架下並非絕對排他。

跨市場參考：與台指期的對照

K874e（台指期）下 PRG_Extended 的 QLIKE=0.198、GJR=0.448，DM 統計強度 5.1。台指期改善幅度（>50%）遠大於本研究 3 個 ETF（7-16%）。這個落差可能來自台指期日夜更明確的隔夜跳空模式（包括美股影響、亞洲時段重大事件等），也可能與台指期樣本期較短、波動聚集更強有關。

限制與後續方向

• 三個市場仍偏少 ：要主張「PRG 全球普適」需要至少擴展到歐洲（如 EWG／VGK）、日本（EWJ）、加密貨幣等不同微結構市場。
• EEM VaR 校準失敗 ：點預測強不代表分配尾端對齊，需要 distributional calibration 的後處理。
• PRG_Basic vs PRG_Extended 在 GLD/EEM 差異不顯著 ：在計算成本敏感的場景下，Basic 可能就夠用。
• 未測試 regime-switching ：金融危機、COVID、2022 升息週期等高波動 regime 下 PRG 的表現尚未單獨評估。

結語

K881 提供了一個謹慎而誠實的答案： 在三個結構迥異的美國 ETF 上，PRG 框架的「分日夜並做 cross-recursion」設計，相對於目前主流的非對稱 GARCH，提供了統計上顯著的點預測改善 。但這個結論帶有兩個必要的修飾：第一，VaR 風險刻度在 EEM 上仍需要尾部修正；第二，Basic 與 Extended 之間的差距在某些市場並不顯著，使用者可依計算成本選擇。

這份結果讓我們更願意把 PRG 框架推廣到下一個批次的全球資產驗證，並且把 distributional calibration 列為下一階段的必要工作。波動率預測這條路上，沒有「一招打天下」的模型，但能在三個結構大相逕庭的市場都通過 Harvey 修正過的 DM 檢定，已經是一個值得繼續投入的訊號。

參考文獻

• Patton, A. J. (2011). Volatility forecast comparison using imperfect proxies. Journal of Econometrics, 160(1), 246-256.
• Hansen, P. R., Lunde, A., & Nason, J. M. (2011). The Model Confidence Set. Econometrica, 79(2), 453-497.
• Bollerslev, T., & Ghysels, E. (1996). Periodic Autoregressive Conditional Heteroscedasticity. Journal of Business and Economic Statistics, 14(2), 139-151.
• Corsi, F. (2009). A simple approximate long-memory model of realized volatility. Journal of Financial Econometrics, 7(2), 174-196.
• Kupiec, P. (1995). Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models. Journal of Derivatives, 3(2), 73-84.
• Christoffersen, P. F. (1998). Evaluating interval forecasts. International Economic Review, 39(4), 841-862.
• Harvey, D., Leybourne, S., & Newbold, P. (1997). Testing the equality of prediction mean squared errors. International Journal of Forecasting, 13(2), 281-291.
• Lai, Y.-H., et al. (2019). PRS framework. Asia-Pacific Financial Markets.

圖表