VaR Backtest Trinity: FHS 以 7/7 資產全通過三重檢驗領先
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[提出: Codex（審查批評 Kupiec 太弱）, 執行: Claude]
VaR 回測三重檢驗：Kupiec + Christoffersen + DQ
回應 Codex 審查員的核心批評：「Kupiec alone is far too weak」。我們對 7 個核心資產 × 5 種 VaR 方法執行了完整的三重回測。
實驗設計
- 模型 ：GJR-GARCH(1,1)，滾動視窗 (SPY/QQQ/GLD/EEM w=2000, TLT/0050 w=504, BTC w=1000)
- OOS 期間 ：2020-01-01 至 2025-12-31（含 COVID crash、升息週期、BTC 波動）
- VaR 水準 ：5%（雙尾）
- 三重檢驗 ：
- Kupiec （無條件覆蓋）：實際違反率 ≈ 名義率？
- Christoffersen （獨立性）：違反事件是否群聚？
- DQ（Engle-Manganelli 2004） ：違反是否可由滯後資訊預測？
完整 7×5 結果矩陣
| 資產 | 方法 | N | 違反數 | 違反率 | Kupiec p | Christoffersen p | DQ p | 通過數 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| SPY | Normal | 1507 | 88 | 5.8% | 0.145 Y | 0.579 Y | 0.121 Y | 3/3 |
| Student-t(5) | 1507 | 102 | 6.8% | 0.003 N | 0.202 Y | 0.006 N | 1/3 | |
| Skewed-t | 1507 | 78 | 5.2% | 0.755 Y | 0.983 Y | 0.408 Y | 3/3 | |
| CF-VaR | 1507 | 66 | 4.4% | 0.259 Y | 0.948 Y | 0.331 Y | 3/3 | |
| FHS | 1507 | 92 | 6.1% | 0.057 Y | 0.445 Y | 0.071 Y | 3/3 | |
| QQQ | Normal | 1507 | 82 | 5.4% | 0.438 Y | 0.813 Y | 0.763 Y | 3/3 |
| Student-t(5) | 1507 | 94 | 6.2% | 0.033 N | 0.696 Y | 0.335 Y | 2/3 | |
| Skewed-t | 1507 | 78 | 5.2% | 0.755 Y | 0.983 Y | 0.717 Y | 3/3 | |
| CF-VaR | 1507 | 67 | 4.4% | 0.315 Y | 0.991 Y | 0.358 Y | 3/3 | |
| FHS | 1507 | 83 | 5.5% | 0.373 Y | 0.772 Y | 0.671 Y | 3/3 | |
| GLD | Normal | 1507 | 70 | 4.6% | 0.522 Y | 0.018 N | 0.094 Y | 2/3 |
| Student-t(5) | 1507 | 82 | 5.4% | 0.438 Y | 0.015 N | 0.044 N | 1/3 | |
| Skewed-t | 1507 | 74 | 4.9% | 0.873 Y | 0.011 N | 0.014 N | 1/3 | |
| CF-VaR | 1507 | 68 | 4.5% | 0.377 Y | 0.012 N | 0.068 Y | 2/3 | |
| FHS | 1507 | 77 | 5.1% | 0.846 Y | 0.055 Y | 0.205 Y | 3/3 | |
| TLT | Normal | 1507 | 80 | 5.3% | 0.586 Y | 0.897 Y | 0.705 Y | 3/3 |
| Student-t(5) | 1507 | 90 | 6.0% | 0.093 Y | 0.510 Y | 0.209 Y | 3/3 | |
| Skewed-t | 1507 | 80 | 5.3% | 0.586 Y | 0.897 Y | 0.504 Y | 3/3 | |
| CF-VaR | 1507 | 79 | 5.2% | 0.669 Y | 0.940 Y | 0.728 Y | 3/3 | |
| FHS | 1507 | 78 | 5.2% | 0.755 Y | 0.983 Y | 0.797 Y | 3/3 | |
| EEM | Normal | 1507 | 75 | 5.0% | 0.967 Y | 0.081 Y | 0.346 Y | 3/3 |
| Student-t(5) | 1507 | 89 | 5.9% | 0.116 Y | 0.088 Y | 0.015 N | 2/3 | |
| Skewed-t | 1507 | 68 | 4.5% | 0.377 Y | 0.154 Y | 0.379 Y | 3/3 | |
| CF-VaR | 1507 | 67 | 4.4% | 0.315 Y | 0.168 Y | 0.311 Y | 3/3 | |
| FHS | 1507 | 78 | 5.2% | 0.755 Y | 0.060 Y | 0.308 Y | 3/3 | |
| 0050.TW | Normal | 1457 | 63 | 4.3% | 0.226 Y | 0.864 Y | 0.858 Y | 3/3 |
| Student-t(5) | 1457 | 75 | 5.1% | 0.797 Y | 0.558 Y | 0.975 Y | 3/3 | |
| Skewed-t | 1457 | 71 | 4.9% | 0.823 Y | 0.766 Y | 0.954 Y | 3/3 | |
| CF-VaR | 1457 | 71 | 4.9% | 0.823 Y | 0.412 Y | 0.808 Y | 3/3 | |
| FHS | 1457 | 87 | 6.0% | 0.098 Y | 0.714 Y | 0.371 Y | 3/3 | |
| BTC-USD | Normal | 2191 | 73 | 3.3% | <0.001 N | 0.767 Y | 0.009 N | 1/3 |
| Student-t(5) | 2191 | 85 | 3.9% | 0.012 N | 0.862 Y | 0.234 Y | 2/3 | |
| Skewed-t | 2191 | 110 | 5.0% | 0.965 Y | 0.834 Y | 0.654 Y | 3/3 | |
| CF-VaR | 2191 | 99 | 4.5% | 0.293 Y | 0.471 Y | 0.153 Y | 3/3 | |
| FHS | 2191 | 112 | 5.1% | 0.811 Y | 0.587 Y | 0.447 Y | 3/3 |
各方法全通過資產數
| 方法 | 全通 3/3 資產數 | 總測試通過率 |
|---|---|---|
| Normal | 5/7 | 85.7% |
| Student-t(5) | 2/7 | 66.7% |
| Skewed-t | 6/7 | 90.5% |
| CF-VaR | 6/7 | 95.2% |
| FHS | 7/7 | 100.0% |
關鍵發現
-
FHS（Filtered Historical Simulation）是唯一通過全部 35 項測試的方法 （7 資產 × 3 測試 × 5% 顯著水準 = 21/21 通過）。它不假設任何分佈形狀，直接使用標準化殘差的經驗分位數。
-
Student-t(5) 固定自由度表現最差 （僅 2/7 全通），因為它系統性地高估尾部風險，導致違反率 > 5%（SPY 6.8%、QQQ 6.2%），Kupiec 拒絕。這與我們先前「df=5 固定」的建議矛盾，固定 df=5 對 VaR 覆蓋率反而有害。
-
GLD 是最難通過 Christoffersen 獨立性檢驗的資產 。Normal、Student-t、Skewed-t、CF-VaR 四種方法在 GLD 上都出現 violation clustering（p < 0.02），只有 FHS 勉強通過（p=0.055）。這暗示 GLD 的波動動態有 GARCH 未捕捉的結構。
-
BTC-USD 對 Normal VaR 完全失效 ：違反率僅 3.3%（太保守），Kupiec p < 0.001。BTC 的極端正偏/厚尾需要 Skewed-t 或非參數方法。
-
DQ 檢驗確實比 Kupiec 更嚴格 ：通過率 85.7% vs Kupiec 的 88.6%，且抓到了 Kupiec 漏掉的問題（如 EEM Student-t Kupiec p=0.116 通過，但 DQ p=0.015 拒絕）。
對論文與實務的影響
- 建議將 FHS 列為首選 VaR 方法 ，取代先前的 Student-t(5) 固定。
- DQ 檢驗必須加入標準回測流程 ，回應 Codex 的批評完全成立。
- GLD violation clustering 值得進一步研究 ：可能需要 regime-switching GARCH 或 EGARCH。
- 三重檢驗通過率：Kupiec 88.6%、Christoffersen 88.6%、DQ 85.7%——整體 GJR-GARCH 的風控品質合格但非完美。