VIX 期限結構能預測 SPY 月度波動率嗎？——In-sample 光環 vs OOS 現實
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[提出: 用戶, 執行: Claude]
摘要
VIX/VIX3M 比率（期限結構斜率）在 in-sample 回歸中與月度實現波動率有極強關聯（t=4.49, R²=0.50），但 OOS 預測中加入該比率反而 降低 預測準確度，典型的過擬合模式。最佳 OOS 預測器意外地是一個無需回歸的簡單公式： VIX × (VIX/VIX3M) ，R²=0.35，勝過 OLS VIX (R²=0.32)、裸 VIX (R²=0.24) 和 GARCH (R²=0.14)。
研究背景
VIX 期限結構（短期 VIX 與長期 VIX3M 的比率）是市場從業者常用的恐慌指標：
- 正常（Contango） ：VIX/VIX3M < 1，市場定價短期風險低於長期
- 倒掛（Backwardation） ：VIX/VIX3M > 1，短期恐慌超過長期，通常意味著危機
問題是：這個比率是否包含 VIX 水準本身之外的 增量波動率預測資訊 ？
方法與數據
| 項目 | 設定 |
|---|---|
| 資產 | SPY |
| 期間 | 2020-01 至 2025-12（OOS） |
| 預測窗口 | 非重疊 22 交易日 |
| 實現波動率 | 窗口內日報酬標準差 × √252 |
| GARCH | GJR-GARCH(1,1), Normal, w=2000, 22-step ahead |
| 回歸 | 擴展窗口 OLS，初始訓練 24 個月 |
| 指標 | OOS R², MAE, DM test |
核心發現
發現一：VIX 顯著勝過 GARCH (DM p=0.004)
| 模型 | OOS R² | MAE | 說明 |
|---|---|---|---|
| Raw GARCH | 0.14 | 0.055 | 僅用 GJR 22-day forecast |
| Raw VIX | 0.24 | 0.052 | VIX/100 直接當年化 vol |
| Raw VIX×ratio | 0.35 | 0.041 | 無回歸，最佳 |
| OLS: VIX | 0.32 | 0.036 | 擴展窗口回歸 |
| OLS: VIX+ratio | 0.14 | 0.053 | 加 ratio 後 大幅退步 |
| OLS: GARCH+ratio | 0.15 | 0.053 | 同上 |
| OLS: GARCH+VIX+ratio | 0.10 | 0.056 | 最多參數，最差 |
VIX 作為月度波動率預測器遠優於 GARCH（DM test p=0.004）。這不令人意外——VIX 本質上是市場對未來 30 天波動率的共識預期，資訊集遠大於單一 GARCH 模型。
發現二：In-sample 光環 vs OOS 崩潰
VIX/VIX3M 比率的全樣本回歸統計非常亮眼：
| 統計量 | 值 |
|---|---|
| ratio 係數 | 0.849 |
| t 統計量 | 4.49 |
| In-sample R² | 0.50 |
| OOS R²（VIX+ratio） | -0.33 (V1) / 0.14 (V2) |
但 OOS 中加入 ratio 反而使 R² 從 0.32 降至 0.14（V2）甚至 -0.33（V1 更少初始訓練）。
原因分析 ：係數不穩定性。VIX 係數在 n=24 時為 -0.202 ，到 n=68 時翻轉為 +0.396 ——完全反號。這意味著短樣本的 OLS 係數不可靠，預測時帶入大量估計誤差。
發現三：VIX×ratio 乘積是「免費午餐」
最有趣的發現是 VIX×(VIX/VIX3M)——也就是 VIX²/VIX3M——作為無參數預測器 R²=0.35，優於需要回歸的 OLS VIX (0.32)。
直覺解釋：當期限結構倒掛時（ratio>1），VIX×ratio > VIX，自動向上調整預測；正常時 VIX×ratio < VIX，自動向下修正。這是一個 自適應修正機制 ，不需要估計任何參數。
發現四：Sorted Portfolio 顯示 ratio 與 vol 相關，但被 VIX 吸收
| Tercile | VIX/VIX3M | 平均 RV | 控制 VIX 後殘差 |
|---|---|---|---|
| Low | <0.857 | 0.136 | +0.001 |
| Mid | 0.857-0.926 | 0.140 | -0.024 |
| High | >0.926 | 0.246 | +0.023 |
高 ratio 期間的波動率確實高 2 倍（0.246 vs 0.136, t=2.94, p=0.005），但控制 VIX 水準後，差異不再顯著（t=0.66, p=0.51）。ratio 的資訊大部分已被 VIX 水準捕獲。
發現五：Backwardation 事件研究
68 個月中僅 6 個出現倒掛（8.8%）：
- 倒掛期間平均 RV：0.380（vs 正常 0.155）
- 倒掛期間 VIX 預測剩餘誤差：+0.054（VIX 低估了實際波動）
- 正常期間 VIX 預測剩餘誤差：-0.042（VIX 高估了實際波動）
倒掛確實意味著 VIX 會低估波動率，但樣本太少（n=6），無法建立穩健的統計結論。
實務意義
-
月度波動率預測 ：直接用 VIX/100 即可，OOS R²≈0.24。如果願意用 VIX²/VIX3M 作為修正，可提升至 R²≈0.35，且不需要任何參數估計。
-
不要回歸化 ratio ：將 VIX/VIX3M 放入 OLS 回歸會過擬合。In-sample t=4.49 的漂亮結果在 OOS 中完全消失。這是波動率預測文獻中常見的陷阱。
-
GARCH 的角色 ：對於月度頻率預測，GARCH 遠不如 VIX（R² 0.14 vs 0.24）。GARCH 的優勢在日頻率，而非月度彙總。
-
定性使用 ：VIX 期限結構最好作為定性的「恐慌/平靜」旗幟，而非定量回歸變數。倒掛 = 提高警覺 + 考慮減倉。
結論
VIX 期限結構（VIX/VIX3M 比率）包含波動率相關資訊，但其預測價值大部分已被 VIX 水準本身吸收。作為 OLS 回歸變數，它在 OOS 中帶來的是傷害而非幫助。唯一例外是無參數的 VIX×ratio 乘積，通過自適應修正機制提供了小幅但穩定的改善。這個結果提醒我們：更多變數 ≠ 更好預測，尤其當樣本量有限（n=68 月）且參數不穩定時。
方法論：2020-2025 非重疊 22 天窗口，擴展窗口 OLS，GJR-GARCH(1,1) w=2000。所有 R² 為 OOS。