K988：VIX² 在 17 個規格比較中 QLIKE 最低——對 GJR 的顯著性取決於對照組與視窗
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[提出: 用戶, 執行: Claude]
摘要
K988 系統性比較了 17 個 Multiplicative GARCH-X 規格，問的是：當我們把 VIX 嵌入 GARCH 的乘法結構時，哪種規格的 QLIKE 最低？在原設定下，結果很清楚—— VIX²（平方）作為外生因子，搭配自由估計的截距項（free ω），勝出所有設計，DM t 統計量 = 4.49，遠超 Harvey (2016) 的 t > 3.0 門檻 。這個顯著性只在原設定下成立：2,000 日滾動視窗，GJR 對照組用三個由樣本變異數導出的起點估計。後續兩項稽核把這兩個設定拆開檢查，對照組換成標準多起點估計、或視窗縮短，A4f 對 GJR 的顯著性都沒有成立，詳見〈範圍限定〉。更重要的是，這項研究同時揭示了日頻 GARCH-X 對 GARCH-MIDAS 的全面優勢。
研究背景
這場規格比較源於 K889 的方法論缺陷。K889 引入了 MF-GJR(VIX) 模型：
95267\sigma^2_t = au_t imes g_t95267
然而賴教授指出三個關鍵問題：
- 名不符實 ：K889 宣稱基於 GARCH-MIDAS，但 τ 是日頻的且只用單一 lag VIX，沒有 MIDAS 的 Beta 加權結構
- 估計/OOS 不一致 ：g 方程分母在估計時用 τ_t（同期），但 OOS 用 τ_{t-1}（前期），邏輯錯誤
- E(g) ≠ 1 問題 ：VIX² 系統性高估 realized variance（VRP > 0），強制 ω = 1-α-γ/2-β 使 E(g) = 1 的約束不合理
K988 的設計目標是：在同一框架下，系統性地測試所有合理的規格選擇，找出最佳設定。
方法與數據
| 項目 | 設定 |
|---|---|
| 資產 | SPY（標普 500 ETF） |
| 期間 | 2005–2026（yfinance） |
| OOS 窗口 | 2019-01-01 至 2026-04-07（1,825 觀測值） |
| 訓練窗口 | 2,000 個交易日（滾動） |
| 重新估計頻率 | 每 63 個交易日 |
| 評估指標 | QLIKE（Patton 2011）、DM 統計量（Harvey t > 3.0） |
| VIX | lagged 1 day（正確無 lookahead） |
共測試 17 個規格，分為三組：
- Part A ：Multiplicative GARCH-X（日頻 τ，無 MIDAS Beta 加權）
- Part B ：正規 GARCH-MIDAS（Rolling window，VIX 的 Beta 加權移動平均）
- Part C ：Fixed-span GARCH-MIDAS（固定長度 span）
- Benchmark ：GJR-GARCH(1,1)
核心發現
排名（表格為節錄，完整 17 個規格見圖）
| Rank | 模型 | QLIKE | DM t vs GJR | 類型 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | A4f: VIX², free ω | -8.3606 | +4.49 ★ | GARCH-X, VIX², 自由截距 |
| 2 | A4: VIX², 約束 ω | -8.3599 | +4.32 ★ | GARCH-X, VIX² |
| 3 | A2: log-exp, τ_t 分母 | -8.3581 | +3.50 ★ | GARCH-X, log-exp |
| 4 | B1: MIDAS, K=22 | -8.3539 | +3.35 ★ | GARCH-MIDAS, 月 |
| 6 | A1: K889 原版（有 bug） | -8.3519 | +3.20 ★ | 估計/OOS 不一致 |
| 7 | A2f: log-exp, free ω | -8.3517 | +3.21 ★ | GARCH-X, log-exp, 自由截距 |
| 8 | A3: log-exp, τ_{t-1} | -8.3504 | +3.16 ★ | GARCH-X, 前期分母 |
| 17 | B0: GJR（基準） | -8.2806 | — | 純 GARCH |
發現一：VIX² 贏過 log-exp，因為維度一致
這是 K988 最重要的理論洞見。
在 Multiplicative 模型中，τ 代表「外生波動率水準」，σ² 是 variance（方差）。如果 τ = exp(θ₀ + θ₁ log VIX)，維度是 VIX 的某次方 ；但如果 τ = θ₀ + θ₁ VIX²，維度直接對應 variance （因為 VIX ≈ σ，所以 VIX² ≈ σ²）。
維度一致帶來更佳的信號質量，這正是 A4/A4f 在 QLIKE 排名領先的根本原因。
發現二：Free ω 對 VIX² 模型有效，對 log-exp 無效
- VIX² + free ω（A4f）> VIX²（A4） ：QLIKE -8.3606 vs -8.3599
- log-exp + free ω（A2f）< log-exp（A2） ：QLIKE -8.3517 vs -8.3581
為什麼？VIX 有 隱含波動率風險溢酬（VRP） ——VIX² 系統性高估 realized variance，因此強制 E(g) = 1 的約束（ω = 1-α-γ/2-β）不合理。Free ω 讓模型自行校正這個偏差，所以有效。log-exp 模型的 τ 不是直接的 variance 量，VRP 偏差不那麼系統化，free ω 反而多一個自由度增加估計雜訊。
發現三：日頻 GARCH-X 全面勝過 GARCH-MIDAS
這項發現對方法論選擇有直接影響：
- Rolling window MIDAS（B1-B3） ：最佳 QLIKE = -8.3539，弱於日頻 A2（-8.3581）
- Fixed-span MIDAS（C1-C3） ：最佳 QLIKE = -8.3097，更差
原因在於：VIX 的信息高度集中在近期（short memory），MIDAS 加權把遠期 VIX 也納入，稀釋了近期信號。日頻 GARCH-X 直接用最新的 VIX_{t-1}，不做任何加權平均，反而保留了最大的預測力。
結論：當外生變數本身就是高頻（每日）且記憶短時，GARCH-X 優於 GARCH-MIDAS。
發現四：修正 K889 bug 後績效確實提升
A1（K889 原版，有 bug）vs A2（修正一致性）：QLIKE -8.3519 vs -8.3581。 估計/OOS 不一致的 off-by-one 確實損失了預測績效，驗證了 K889 批評的正確性。
VRP 連結（補充發現）
這一節檢查 g 成分是否追蹤波動率風險溢酬（VRP）。VRP 代理為 (VIX_{t-1}/100)²/252 − r_t²，g 取各規格真正的 g_t 遞迴路徑。數字取自 K988 重新凍結後的第二階段結果檔 experiments/k988/k988b_results.json，樣本外 n = 1,825；該檔的 VRP 分析涵蓋下列三個規格：
| 規格 | g 與 VRP 的 Spearman ρ | 顯著性（p 值） |
|---|---|---|
| A3f（τ_{t-1} 分母） | −0.113 | 1.4e-6 |
| A2n（log-exp 方案B） | −0.001 | 0.963 |
| A4n（VIX² 方案B） | +0.020 | 0.401 |
三個規格的 g 成分都無法實用地追蹤 VRP。 A3f 在統計上顯著（p = 1.4e-6），方向是負的，幅度小（ρ 約 −0.11）；A2n 與 A4n 的 ρ 貼著零，也不顯著。
「乘法結構 + GARCH = VRP 的 AR 模型」這個理論橋樑因此得不到支持。
實務意義
對波動率預測模型設計者 ：
- 當外生變數是隱含波動率（VIX 類）時，優先用 VIX² 而非 log(VIX) 作為 τ，維度一致性有實際預測價值
- 估計和 OOS 的分母設定必須一致，K889 式的 off-by-one bug 會損失績效
- GARCH-MIDAS 的複雜 Beta 加權在日頻外生變數場景下不帶來額外好處
對量化研究者 ： 4. A4f 的 QLIKE 點估計在比較的規格中最低；DM t = 4.49 在原設定下過 Harvey t > 3.0 門檻，但這個顯著性不穩健（見〈範圍限定〉），只能讀成「點估計較低、統計上未確立」 5. QLIKE 差距看似微小（-8.36 vs -8.28），在原設定的 1,825 個 OOS 點上累積出顯著的差異；對照組換成標準估計後，差距仍在（約 1.16%），但顯著性不足（見〈範圍限定〉）
下一步 ：
- 跨資產驗證（QQQ/EEM/0050.TW/GLD）
- 結合 VaR/ES 評估框架（Patton 2011 標準）
範圍限定：對照組估計與視窗長度（後續稽核）
這篇的 DM t = 4.49 是在一組特定設定下得到的：滾動視窗 2,000 日，GJR 對照組用三個由樣本變異數導出的起點估計。後續兩項獨立稽核把這兩個設定拆開檢查，結果都不支持把 4.49 讀成穩健的強顯著。
對照組換成標準估計。 只把 GJR 對照組改用標準的 20 起點多起點擬合、其餘全部不動，同一格的 DM t 由 4.49 降到 2.56（GW 檢定 p 值由 0.00004 變 0.037），不再通過 t > 3.0 門檻；A4f 的 QLIKE 優勢點估計仍為正（約 1.16%，原設定約 0.97%）。這個稽核的事前規則把該格標為「未定」：兩份凍結快照之間的 DM t 差距超過事前容差，所以結論是未確立，不是被推翻。
視窗縮短。 預註冊的視窗長度稽核（SPY，沿用原三起點 GJR 對照組，OOS 同一段）把視窗改為 500、1,000、1,500、2,000、3,000 日與 expanding，另加兩條彈性規則（逐日選視窗、六視窗平均）。以同一個 s 統計量（正值代表 A4f 較佳，門檻 3.0）：視窗 500 日 −0.65、六視窗平均 +0.67，顯著性消失；1,500 日 2.75，落在門檻下方的噪音帶內；1,000 日 3.33 勉強過線（高出門檻不到一個噪音帶）；2,000 日（原值）重現為 4.36，3,000 日 5.10，expanding 4.76，都過線。噪音帶 0.47，是同一條估計管線在輸入末位微擾下 s 的最大變動。
這兩項稽核的限定。 視窗稽核是非盲的預註冊（凍結前已看過原結論與基準敏感度的記載）；判定只在預註冊的操作定義與噪音帶下成立；噪音帶量的是管線對輸入微擾的敏感度，不是 DM 估計的不確定度；「八格任一越界」的規則含多重尋找；輸入讀取路徑的修訂發生在已算出視窗 500 的擾動格之後。這些稽核不顯示哪個視窗較佳，也不表示 A4f 無效；它們只表示 4.49 這個數字依賴「2,000 日視窗」與「三起點 GJR 對照組」這兩個選擇。
結論
K988 的核心答案是： 在 Multiplicative GARCH-X 架構中，VIX²（平方）是最自然、最有效的外生波動率因子 。維度一致（variance 對 variance）、VRP 水準偏差由 free ω 校正、日頻更新（勝過 MIDAS 加權），三個設計選擇共同解釋了 A4f 的冠軍地位。這裡的「最有效」指點估計與模型排名；A4f 對 GJR 的統計顯著性在標準對照組與較短視窗下都沒有成立，見〈範圍限定〉。
局限性
- 僅測 SPY，尚未做跨資產驗證
- 未做 VaR/ES 評估（僅 QLIKE）
- Refit 頻率每 63 天，非每日
- OOS 期間（2019-2026）包含 COVID-19 極端波動，結果可能對非常規時期敏感
- 對照組估計與視窗長度：A4f 對 GJR 的顯著性依賴三起點 GJR 對照組與 2,000 日視窗，見〈範圍限定〉
- g 成分與 VRP 的關係：只有 A3f 一個規格呈統計顯著的負相關，幅度小（ρ 約 −0.11），g 不能當作追蹤 VRP 的工具（見〈VRP 連結〉一節）
實驗腳本: experiments/k988/k988.py，結果: experiments/k988/k988_results.json（數據來源：yfinance SPY/VIX 2005-2026，OOS n=1,825）