台指期的波動又粗糙又厚尾，專治厚尾的模型帳面贏了，卻贏不出統計上的差別
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先講結論：這次實驗沒有做出東西。
會想把它寫出來，是因為它失敗的方式很乾淨。所有診斷指標都在對你招手，說「這個資料不乖，換更兇的模型吧」，你照做了，次日波動率預測卻拿不到任何站得住的改善。中間那道牆長什麼樣子，比多一個成功案例更值得看。
一份「教科書等級不正常」的資料
素材是台指期（TAIFEX TX）日盤的 5 分鐘 bar，從 2017-05-16 到 2021-12-30，一共 1,138 個交易日。每天用 5 分鐘報酬算出當日已實現變異數（RV），中位數是每天 59 筆盤中報酬。
第一項診斷是粗糙度，用 Hurst 指數 H 衡量。H = 0.5 代表路徑像標準布朗運動那樣「正常抖」，H 越小代表路徑越鋸齒、越沒有記憶。
台指期 log RV 的 H，用頻率比法算出 0.0545，用 variogram 法算出 0.1428（配適 R² = 0.9794）。兩種方法都遠低於 0.5，這條路徑粗糙得很徹底。
第二項是非高斯性。每日 log RV 的一階差分（Δlog RV，1,137 筆）超額峰態 1.1259，Jarque-Bera 檢定 未達顯著水準（顯著性 6.82）e-17，等於把常態分配的假設輾過去。改用 Student-t 配適，自由度估出 8.94，AIC 比常態低 25.29。另外有 2.55% 的交易日，Δlog RV 的絕對值超過 2.5 個 MAD。
到這裡，資料像是在點名：粗糙、厚尾、跳來跳去。學術界剛好有一整套工具是為這種資料設計的。
一個被忽略的細節：尾巴其實沒那麼厚
Garcin、Sawaya 與 Valade 在 2026 年的論文（arXiv:2507.15437）提出，處理非高斯粗糙波動時，用 codifference 取代共變異數來做線性分數穩定運動（LFSM）的預測。他們的前提是 alpha-stable 分配：尾部指數 alpha 小於 2、變異數無窮大的那一族。
所以動手之前，我先量了尾巴。Hill 估計在最極端 10% 的樣本上給出 alpha = 3.63，在最極端 5% 上給出 4.21，只看右尾則是 3.93；log-log 存活函數用最極端 20% 配適，斜率給出 3.58（R² = 0.9856）。
四個數字分別是 3.63、4.21、3.93、3.58，離 alpha < 2 的門檻還有一大段距離。
厚尾是真的，但厚到「無窮方差」的程度並沒有發生。這是整篇實驗第一道裂縫，而且它在跑任何模型之前就已經出現。
五個模型，488 個交易日
我還是把實驗跑完了。「理論前提不成立」跟「預測拿不到增益」是兩個獨立的問題，值得分開驗一次。
參賽的兩個基準是 HAR（用 1 日、5 日、22 日的 log RV 落後項）與 HARQ（HAR 加上已實現四次冪的資訊）。
三個挑戰者分別是 StableTailHAR（HAR 加上 MAD 標準化的尾部衝擊與帶符號冪次項）、CodiffAR（用 codifference 代理項與帶符號冪次落後項做自迴歸）、LFSM_lite（用滾動 H 與 Hill alpha 算出分數穩定核權重）。
樣本外測試從 2020-01-02 跑到 2021-12-30，共 488 個交易日，每 21 個交易日重新配適一次，總共重配 24 次。誤差用波動率預測常用的損失函數衡量，數字越低越準。每一個 t 日的預測只用得到 t−1 日以前的資訊。
| 模型 | 樣本外平均誤差 | 比 HAR 低多少 |
|---|---|---|
| CodiffAR（新特徵） | 0.2203 | 0.0240 |
| HARQ（基準） | 0.2245 | 0.0199 |
| LFSM_lite（新特徵） | 0.2321 | 0.0122 |
| StableTailHAR（新特徵） | 0.2402 | 0.0042 |
| HAR（基準） | 0.2444 | — |
CodiffAR 拿了第一名。看到這張表會想開香檳，所以下一步很重要。
把「贏 0.0240」丟進統計檢定
平均值排名不等於預測能力有差別。488 天的逐日誤差序列本身波動很大，名次可能只是運氣。判準用預測比較的標準檢定搭配序列相關修正，本平台的嚴格門檻是修正後檢定值絕對值大於 3，且通過多重比較校正。
| 對照 | 檢定值 | 發生機率 | 多重校正後 | 過嚴格門檻 |
|---|---|---|---|---|
| CodiffAR vs HAR | −1.319 | 0.188 | 0.939 | 否 |
| CodiffAR vs HARQ | −0.576 | 0.565 | 0.939 | 否 |
| LFSM_lite vs HAR | −1.461 | 0.145 | 0.876 | 否 |
| StableTailHAR vs HAR | −1.028 | 0.304 | 0.939 | 否 |
| HARQ vs HAR | −1.536 | 0.125 | 0.876 | 否 |
（負號代表挑戰者損失較低）
最大的檢定值絕對值是 1.536，離門檻 3 有兩倍距離。多重比較校正後所有機率都在 0.87 以上。嚴格勝場數：0。
那張平均值的表看不出原因，但把同一場比賽逐日攤開就很清楚了。
四條線最後都在零以上，也就是帳面上都比基準準一點。但爬升幾乎全部集中在兩個垂直跳點，對應市場劇烈重定價的那兩段，其餘四百多天曲線是平的。這就是為什麼平均值看起來有差、檢定卻分不出勝負：那不是四百多天一點一點累積的優勢，是兩天的事。換句話說，換一段樣本外期間，這個名次很可能整個翻掉。
順帶一提，兩個新特徵模型跟 HARQ 對打時符號還轉正了：StableTailHAR vs HARQ 的 t = +1.276，LFSM_lite vs HARQ 的 t = +1.086，代表它們的損失比 HARQ 高。它們贏的其實只有 HAR 這個較弱的基準。
還有一個細節值得攤開。LFSM_lite 每次重配適時，會把估出來的尾部指數夾進一個上限是 2.0 的區間，再拿去算核權重。
24 次重配適，alpha 的最小值、平均值、最大值全部是 2.0。每一次都被上限截斷。
那個號稱處理 alpha-stable 的模型，從頭到尾沒有一刻真的在 alpha-stable 的參數區間裡運作。這跟前面量到的 3.58 到 4.21 完全對得上。
診斷亮紅燈，跟換模型會賺，中間隔著什麼
我覺得這次的教訓有三層。
第一層是前提要逐條核對，不能只核對一半。「非高斯」是 alpha-stable 的必要條件，遠遠不是充分條件。
Student-t（df = 8.94）也非高斯，而 df 接近 9 的 Student-t 有有限的變異數，跟無窮方差差得很遠。跳過 Hill 估計直接套 LFSM，我就會做出一個前提根本不成立的模型，還可能因為 CodiffAR 排第一而誤以為前提被驗證了。
第二層是 codifference 這個工具的定位。它的價值在於當二階動差不存在時，共變異數會失效，需要一個仍然有定義的替代品。
台指期的 Δlog RV 二階動差活得好好的，共變異數沒壞掉，換一個更耐操的工具就換不到東西。實測也對得上：codifference 代理項在落後 1 期是 −0.345，普通 Pearson 自相關是 −0.443，穩健版本抓到的訊號反而更弱。
第三層是統計功效的現實。488 天要偵測出 0.024 這麼小的誤差差距，樣本數就是不夠。連 HARQ 對 HAR 都只拿到 −1.536，而 HARQ 是文獻上公認有用的改良。這張表真正在說的是「這個測試看不見這麼小的差別」。
這篇沒有證明什麼
安全的說法只有一句：台指期日盤 5 分鐘 RV 確實粗糙且非高斯，但在這個有界的測試裡，穩定尾部、codifference 與 LFSM-lite 特徵對 HAR/HARQ 的次日預測沒有可證明的增益。
不安全的說法是「非高斯粗糙波動被推翻了」或「Garcin 等人的方法沒用」。這次用的是透明的輕量代理項，並非完整的 LFSM 條件期望估計式；資料只有台指期一個市場、一個日盤時段。單一市場的空結果推不出這麼大的結論。
我也不打算說「參數再調一下就會有用」。這次沒有找到增益，就是沒有找到。真要重訪這條線，前提是先做出忠實的 LFSM 估計式，或是換一個尾部指數真的掉到 2 以下的資料集。加密貨幣或新興市場的盤中資料是比較合理的下一站。
在那之前，我的做法還是留在 HAR/HARQ。它們解釋不了厚尾，但這份資料的厚尾也還沒厚到讓它們壞掉。
資料來源：TAIFEX TX 期貨日盤 5 分鐘 bar，2017-05-16 至 2021-12-30，1,138 個交易日。表中所有數字皆取自實驗結果檔，原始程式、結果檔與逐日樣本外預測值都存放在平台的實驗庫。
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