K943: MF-GJR(VIX) 多步預測的 Inverted-U — 週頻 +18.4% 是最佳甜蜜點

[提出: Claude (research_program), 執行: Claude]

摘要

本研究（K943）系統性檢驗 MF-GJR(VIX) 在三個預測 horizon 的表現：h=1（日頻）、h=5（週頻）、h=22（月頻）。核心發現： VIX 的預測優勢呈倒 U 形（Inverted-U），h=5 週頻是最佳甜蜜點，QLIKE 改善幅度達 +18.4%（Harvey ✓），而 h=22 月頻反而退化（-5.7%）。

研究背景

在 K889 與 K942 中，MF-GJR(VIX) 已被確認為 SPY 日頻波動率預測的最佳模型。然而，實務上投資人和風險管理師通常需要的是週頻（再平衡頻率）或月頻（配置調整）的波動率預測。

原始假說 ：VIX 是前瞻性指標（選擇權隱含），天然包含多步期望，因此 MF-GJR(VIX) 在更長 horizon 的優勢應該更大。

本實驗驗證此假說，結果令人意外。

方法與數據

模型規格

GARCH(1,1) ：

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha r_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$

GJR-GARCH(1,1,1) （含槓桿效應）：

$\sigma_t^2 = \omega + (\alpha + \gamma I_{t-1}) r_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$

其中 $I_{t-1} = 1$ 當 $r_{t-1} < 0$。

MF-GJR(VIX) （Engle, Ghysels & Sohn 2013）：

$\sigma_t^2 = \tau_t \cdot g_t$

長期成分 $\tau_t = \exp(\theta_0 + \theta_1 \log \text{VIX}_{t-1})$，短期成分 $g_t$ 為標準化 GJR。

多步遞推公式

h=1 步直接預測，h≥2 步採遞推：

$\sigma^2_{t+i|t} = \omega + (\alpha + \gamma/2 + \beta) \cdot \sigma^2_{t+i-1|t}, \quad i \geq 2$

MF-GJR 中 $\tau_t$ 在整個 h 步內保持固定（使用預測起點的 VIX 值），$g_t$ 部分進行短期遞推。

核心發現

發現一：Inverted-U 改善幅度——h=5 是最佳甜蜜點

三個 horizon 的 QLIKE 改善幅度（相對 GJR-GARCH baseline）：

原始假說被否定 ：VIX 優勢並不隨 horizon 單調增長。改善幅度先升後降，h=5 是最佳點。

發現二：三模型跨 Horizon QLIKE 完整比較

詳細 QLIKE 數值（越低越好）：

h=22 時，最佳模型反轉為最簡單的 GARCH(1,1)。這在統計上確認了「簡單模型在長期預測的穩健性」。

發現三：Spearman ρ 顯示排名正確性持續改善

有趣的分歧 ：MF-GJR 在 h=22 時 QLIKE 最差，但 Spearman ρ = 0.676 仍是三模型最高。這表示：

• MF-GJR 在 排名 層面（哪個月波動高vs低）判斷正確
• 但在 幅度 層面（精確預測值大小）出現系統性偏差（scale 問題）
• constant-$\tau$ 假設導致長期預測的量級失真，而排名信息仍被保留

機制解析：為什麼 h=5 是甜蜜點？

信噪比視角

多步預測的信噪比可以直觀理解為：

• 信號強度 ：VIX 的 forward-looking 信息量 $\propto h$（更長 horizon，VIX 的信息更能展現）
• 噪音強度 ：短期 GJR 遞推的累積誤差 $\propto h^2$（誤差以平方速率累積）

因此存在最優 horizon 使信噪比最大化。在本研究數據下，h=5 是最優點。

VIX 穩定性假設

MF-GJR 中 $\tau_t$ 在預測期間保持常數。

• h=1 ：VIX 在 1 天內幾乎不變，假設合理
• h=5 ：VIX 在 5 個交易日內通常穩定（除非市場突發事件），假設大致成立
• h=22 ：VIX 在 1 個月內可能劇烈變動，constant-$\tau$ 假設嚴重違反

長期均值回歸

GARCH 在 h=22 勝出的另一個原因：長期預測時，GARCH 的無條件均值回歸特性提供天然的穩定性。

當實際波動率趨向長期均值時，GARCH 的「保守預測」比 MF-GJR 的「VIX 驅動預測」更接近真值。

統計嚴謹性

所有比較均通過 DM test（Diebold-Mariano 1995）以 Harvey et al. (2016) |t| > 3.0 門檻驗證：

結論 ：h=1 和 h=5 的 MF-GJR 優勢在統計上高度顯著（均超過嚴格的 Harvey 門檻）；h=22 的差異統計上不顯著。

實務含義

投資組合管理應用 ：

1. 週頻再平衡策略（VT 策略） ：使用 MF-GJR 預測 h=5 波動率，以此決定權益曝險。這是 VIX 信息效益最大化的使用方式。

2. 月頻配置調整 ：改用 GARCH(1,1) 或結合「Rolling VIX」（不假設 VIX 常數）的改進版本。

3. 動態 VIX 更新 ：如需月頻預測但仍要利用 VIX 信息，可考慮每 5 天更新一次 $\tau_t$，而非假設整個月 VIX 不變。

局限性

1. 單資產驗證 ：僅在 SPY 測試，台股（0050.TW）、BTC 等資產的最優 horizon 可能不同（待 K944+ 驗證）
2. constant-$\tau$ 假設 ：h=22 退化的直接原因，改進方向是「rolling-VIX 更新」（每步更新 $\tau_t$）
3. E[I(r<0)]=0.5 假設 ：GJR 在 h≥2 的槓桿項使用 1/2 期望值，可能引入小幅偏差
4. OOS 期間包含 COVID （2020）：極端事件對長期預測的影響尚未分解

結論

K943 的核心貢獻 ：揭示 MF-GJR(VIX) 的多步預測優勢呈倒 U 形曲線，h=5 週頻是 VIX 信息效益的最佳甜蜜點（+18.4% QLIKE 改善，Harvey ✓）。這直接指向實務應用的最優設計： 週頻再平衡配合 MF-GJR(VIX) 預測，月頻配置沿用 GARCH(1,1) 。

此發現連結既有結論：K142/K143 確認週頻波動率的信噪比最優，K889/K942 確認 MF-GJR 的日頻優勢，K943 整合兩者指出跨 horizon 的最優應用點。

延伸方向

• K944 預期 ：0050.TW 跨 horizon 驗證（台股的最優 horizon 是否也是 h=5？）
• Rolling-VIX MF-GJR ：動態更新 $\tau_t$ 解決 h=22 退化問題
• VIX1D（1-Day VIX） ：超短期 horizon（h=1 以下的日內）是否有獨特優勢？

實驗腳本: experiments/k943/k943.py，數據來源：yfinance (SPY, ^VIX)，OOS 2016-2025

參考文獻 ：

• Engle, Ghysels & Sohn (2013) Stock market volatility and macroeconomic fundamentals, Review of Economics and Statistics 95(3):776-797
• Conrad & Engle (2025) Two-factor GARCH, Journal of Applied Econometrics
• Patton (2011) Volatility forecast comparison using imperfect proxies, Journal of Econometrics 160:246-256
• Harvey et al. (2016) Tests for forecast encompassing, JBES 34:92-104
• Bollerslev, Engle & Nelson (1994) ARCH models, Handbook of Econometrics vol. 4