HAR 波動預測的誤差往哪邊偏：六成交易日高估，平均誤差卻幾乎是零

波動預測圈流傳一種說法：模型在市場最亂的時候會被嚇到、把未來的波動估得太高；市場安靜下來之後，又會被慣壞、估得太低。如果這句話成立，等於是一個可以直接拿來用的校正規則，波動高的時候往下修，低的時候往上修。

拿 SPY 從 1993-02-01 到 2026-09-11 的日收盤資料檢查這句話，資料不支持。

怎麼檢查

HAR 是波動預測最常見的起手式：把「昨天」「上週」「上個月」三個時間尺度的已實現波動線性組合起來，預測未來一個月的波動。只有日收盤可用，已實現波動用日對數報酬的平方和估計，年化成大家熟悉的「波動率 %」。

樣本外採擴張視窗、每天重新估計一次。這裡有一個容易踩的陷阱：預測目標要等 22 個交易日後才完全實現，所以在任何時點訓練模型，都只能用已經走完 22 天、答案已經揭曉的樣本對，不能偷看還沒實現的未來。加上這道保護之後，樣本外期間是 2002-01-02 到 2026-08-11、共 6,191 個交易日（24.6 年），均方根誤差 7.75 波動點、平均絕對誤差 4.72 波動點。

每一天依「預測當下的波動水位」分成五等份，切點只用當天以前已經發生的資料算（不偷看之後的分位邊界）。最低一份的平均波動水位約 8.8%，最高一份約 35.3%，差距夠大，足以分出冷市場與熱市場。

原本那句話，沒有撐住

把最低分位減最高分位的平均誤差，價差是 +0.72 波動點 ，Newey-West t 值只有 0.45，移動區塊重抽樣（66 天一個區塊、2,000 次）95% 區間是 -2.57 到 +3.49，整段跨過零。五個分位的平均誤差對分位序號的 Spearman 相關是 0.00（未達顯著水準（顯著性 1.00）），完全沒有單調趨勢。

換句話說： 以平均值來看，沒有找到 HAR 在高波動之後系統性高估、低波動之後系統性低估的證據 。這是「沒查到」，不是「證明沒有」，重抽樣區間容得下不小的真實差距，這個設計本來就分辨不出那麼細的東西。

偏誤確實存在，只是不在平均值上

全期樣本外的平均誤差是 -0.13 波動點（t 值 -0.32），一個模型在 24.6 年裡平均誤差幾乎是零。

但誤差中位數是 -1.36 波動點 （重抽樣 95% 區間 -1.74 到 -0.99，整段在零以下），而且 61.4% （區間 57.4–65.7%）的交易日模型猜太高，只有不到四成猜太低。

同一串誤差，平均值和中位數為什麼差這麼多？因為兩邊不對稱：猜太低的少數日子，平均低估幅度約 5.96 波動點；猜太高的多數日子，平均高估幅度只有約 3.95 波動點，多數日子小幅高估、少數日子大幅低估，兩邊在平均值上互相抵銷。

這個不對稱不只出現在某個分位。五個分位裡有 4 個 ，猜太高天數占比的信賴區間下界都高於五成。不過，五分位的中位數是否真的彼此相等、猜太高占比是否真的彼此相等，正式的跨分位檢定都沒有拒絕「相等」這個虛無假設（中位數同型檢定 未達顯著水準（顯著性 0.528），Holm 調整後 未達顯著水準（顯著性 1.000）；占比同型檢定 未達顯著水準（顯著性 0.820），Holm 調整後 未達顯著水準（顯著性 1.000）），沒拒絕不代表五個分位真的相等，只是這個設計目前看不出差異。

還有一個描述性的觀察：誤差分布的寬度（第 90 百分位減第 10 百分位）在高波動分位明顯比低波動分位寬，最高分位比最低分位寬約 10.83 波動點；但同樣做跨分位相等檢定，Holm 調整後 未達顯著水準（顯著性 0.262），沒有拒絕「五個分位寬度相等」，所以這裡只當成一個觀察，不當結論。

這件事說明了什麼，也說明了它不能說明什麼

看「模型平均而言準不準」，這個模型會通過，而且成績相當漂亮。換成看「多數時候猜哪一邊」，同一組數字會給你不同的印象：多數交易日，HAR 的預測值高於後來實際發生的波動。

這兩件事都是真的，取決於你在乎的是哪一種誤差特徵。至於這個不對稱背後的機制是什麼，是已實現波動本身的右偏分布，還是模型設定的其他性質，本實驗沒有做拆解，這裡不下判斷。

正式假設沒有得到支持這件事，也不代表校正一個固定的量就安全：條件均值的分位價差既沒有達到顯著、也沒有被正式排除，拿一個沒有測過的數字當校正依據，等於是把未知當已知。

限制

日收盤平方報酬是已實現波動的粗糙估計，有日內資料的人算出來的版本會乾淨許多。預測目標固定在 22 個交易日，沒有測過其他期距。標的只有 SPY 一檔，換成別的指數、期貨或個股不保證重現。五個分位的邊界會隨時間變動（事前擴張分位數），所以每個分位對應的實際波動水位範圍不是一條固定的線，這裡用各分位的平均波動水位描述，僅供讀者定位「冷、熱」的相對程度。

資料與方法

資料來源 ：SPY 日收盤，1993-02-01 至 2026-09-11，樣本外評分期間 2002-01-02 至 2026-08-11。

方法 ：HAR（日／週／月三成分已實現波動），OLS，擴張視窗每日重估；推論用 Newey-West 修正標準誤（落後 44 天）與移動區塊重抽樣（區塊 66 天、2,000 次）。

完整結果與程式碼 ：experiments/k1862/。本文的兩張圖由 storage/drafts/k1862_article_20260929/build_article.py 直接讀該結果檔產生。

本文不構成投資建議。

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