K1422：HAR 分位數迴歸在三種公平 Baseline 比較下的商品 ETF 尾部風險預測

實驗 ID ：K1422
資產 ：GLD（黃金 ETF）、USO（原油 ETF）、UNG（天然氣 ETF）
資料期間 ：2012-01-03 至 2026-06-05（OHLC，yfinance）
訓練集（IS） ：2012-01-03 至 2020-12-31
樣本外（OOS） ：2021-01-04 至 2026-06-05（n = 1362 天）

摘要

本研究（K1422）以三種公平 baseline（常數 Gaussian sigma、經驗殘差分位數、location-scale Gaussian）比較 HAR 分位數迴歸的尾部預測。三個 baseline 本身都是合法的條件分位數預測器；跨資產顯著性採 Politis & Romano（1994）centered-null 定態 bootstrap（n_boot = 1000，seed = 42）。

結果：左尾 q05 的 9 格比較都達名目 p<0.05，其中 8/9 跨過 Harvey |t|>3；GLD 對 empirical baseline 的統計值為 2.168。右尾 q95 在 USO、UNG 的 6 格比較都達名目 p<0.05，但只有 3 格跨過 Harvey 門檻；GLD q95 全部未達。Aggregate verdict = PASS （n_pass_baselines = 3/3），跨資產 joint bootstrap 在 3/3 baseline × 2 tail 組合下全部通過（最大、亦即最弱的 p_one_sided = 0.001，Baseline C 的 q95）。對於最嚴格的 Baseline C（HAR location-scale），q95 的 joint bootstrap p_one_sided = 0.001，其餘均 p < 0.001 或 p = 0.000（對應 n_boot = 1000 的解析度）。

研究設計：公平 baseline 與 centered-null bootstrap

Baseline 本身必須是分位數預測器

若拿 HAR OLS 的條件均值 直接代入 pinball loss（@τ）去和 HAR-QR 比較，比較本身就不公平：HAR OLS 並不是針對 τ 分位數最小化 pinball loss 訓練的，而 HAR-QR 是直接最小化 pinball loss 設計的。這等於是用「射飛鏢的人」去比「用算盤算均值的人」，在射飛鏢分數上分高下。這種比較設計對 QR 有結構性優勢，即便 QR 毫無統計功力，也會贏。

正確的做法是：baseline 必須也能生成有效的條件分位數預測，只是用「更簡單的方式」做到。K1422 設計了三種公平 baseline：

三個 baseline 都是「合法的條件分位數預測器」，且都使用與 QR 相同的 HAR 特徵。這樣的比較才有意義。

跨資產聯合檢定

K1422 的跨資產檢定採 centered-null stationary bootstrap（Politis & Romano 1994）：

1. 先計算 loss difference 序列：$d_t = L_{baseline,t} - L_{QR,t}$（正值代表 QR 較優）
2. 令 T_obs = mean(d)
3. Bootstrap 時把每個 block 的 mean 平移使其均值為 0（centered-null），再計算 \hat{T}^*\
4. 單尾 p-value = 比例：$\hat{T}^* \geq T_{obs}$

Block 長度 $L = \lceil n^{1/3} \rceil$（n = 1362，L = 12），符合 Politis & Romano（1994）的漸近最優建議。

方法與數據

核心發現

發現一：Kupiec UC 覆蓋率——q05 與 q95 的分歧表現

Kupiec UC（Unconditional Coverage）檢定衡量分位數預測的覆蓋率是否達到名目水準。以 q05 為例，理想狀況是 5% 的 OOS 日落在預測值以下；q95 則是 5% 的日落在預測值以上（即實際值超過 q95）。

表 1：HAR-QR 的 Kupiec UC 檢定（OOS n = 1362 天）

觀察：

• q95 覆蓋率表現穩定 ：三個資產的 q95 Kupiec p-value 均在 0.28 以上（0.52、0.28、0.81），統計上無法拒絕正確覆蓋假設。GLD 的 q95 違反 63 次（4.63%），非常接近名目 5%。
• q05 覆蓋偏低 ：GLD 和 UNG 的 q05 違反率僅 2.6–2.7%，遠低於名目 5%，Kupiec p < 0.001。這代表模型的左尾預測偏保守（預測出的 q05 值偏低），實際 GK 波動率鮮少跌破它。USO 的 q05 則接近名目水準（4.33%，p = 0.25）。
• q50 中位數預測存在一定系統誤差，GLD 和 UNG 高於名目 50%，反映 Garman-Klass 波動率序列的右偏特性。

q05 覆蓋率偏低是 HAR-QR 的一個已知侷限：在 GK 波動率序列中，極低波動日往往成群出現（regime），固定係數的分位數迴歸難以完全捕捉。但這並不影響本研究的核心命題—— 相對於公平 baseline，HAR-QR 是否在尾部上表現更好？

發現二：Pinball Loss 的公平比較——QR 在三個資產的左右尾上 pinball loss 一致較低

Pinball loss（又稱 check function loss）是分位數預測的標準評估準則，由 Koenker & Bassett（1978）引入。對 τ 分位數：

$\rho_ au(u) = u \cdot ( au - \mathbf{1}_{u < 0})$

其中 u = y - ŷ_τ。越低越好。

表 2：OOS Pinball Loss 比較（GLD，n = 1362）

表 3：OOS Pinball Loss 比較（USO，n = 1362）

表 4：OOS Pinball Loss 比較（UNG，n = 1362）

HAR-QR 在所有資產、所有尾部分位的 pinball loss 均低於三種公平 baseline。USO 的改善最為顯著（q05 相對 Baseline A 改善 43%），UNG 次之，GLD 改善幅度最小但仍一致。

發現三：DM 檢定，統計顯著性

表 5：DM 檢定（QR vs 三種 baseline，q05）

表 6：DM 檢定（QR vs 三種 baseline，q95）

q05（左尾） ：9 格都達名目 p<0.05，8 格跨過 Harvey |t|>3。唯一未過嚴格門檻的是 GLD 對 Empirical baseline（t=2.168，p=0.0303）；左尾改善仍強。

q95（右尾） ：GLD 三格都未達名目顯著。USO 與 UNG 六格的名目 p-value 都小於 0.05；Harvey 門檻下只有 USO-Gaussian、UNG-Gaussian、UNG-Empirical 三格通過。右尾證據因此比左尾弱，且依 baseline 而變。

發現四：Joint Bootstrap——跨資產聯合顯著性

DM 檢定是逐資產的，joint bootstrap 則把三個資產合起來看。T_obs 定義為三個資產平均 loss difference 的均值，CI 95% 是 bootstrap 的分位數信賴區間。

表 7：Centered-Null Stationary Bootstrap 結果（n_boot = 1000）

所有 6 個組合（3 baseline × 2 tail）均通過 joint bootstrap：

• T_obs 全為正值（HAR-QR 改善）
• CI 95% 全在 0 以上（改善不含零）
• p_one_sided 全 ≤ 0.001，最弱的是 Baseline C 的 q95（p = 0.001）

Baseline C（HAR location-scale）是三種 baseline 中最難打敗的，因為它同時用 HAR 預測 mean 和 scale。即便如此，HAR-QR 的 q95 改善仍以 p = 0.001 通過。這是整組結果中最保守的一筆，也是確立 PASS 的關鍵邊界。

Aggregate Verdict：PASS（3/3 baseline 均達 formal tail improvement）

圖表

圖 1：三個商品 ETF 在 q05（左尾）與 q95（右尾）上，HAR-QR 的 OOS pinball loss（藍色）與三種公平 baseline 的比較。HAR-QR 在所有組合均較低；★ 標在 baseline 長條上，代表 HAR-QR 對該 baseline 的 DM 檢定名目 p<0.05，未標者未達；正式 Harvey 門檻以正文為準。

圖 2：跨三個資產的聯合 bootstrap 結果。菱形（◆）為 T_obs，橫條為 95% CI。所有 CI 均在 0 右側，p_one_sided ≤ 0.001，代表改善在 bootstrap 分布下具統計顯著性。

實務意義：商品 ETF 尾部風險管理的視角

為什麼尾部分位預測比中位數更重要？

GK 波動率的中位數（q50）對於日常配置或停損點設置幫助有限，因為它只告訴你「正常情況下波動率大約落在哪」。但實際上，投資人真正想知道的是：

1. 左尾（q05） ：5% 的日子波動率會低於什麼水準？這是做多波動率策略的進場訊號，當 GK 波動率低於 q05 預測值，代表市場特別平靜，買 volatility premium 的時機可能來了。
2. 右尾（q95） ：5% 的日子波動率會高於什麼水準？這是條件 GK 波動率 q95 的 Kupiec 覆蓋率檢定——GLD q95 覆蓋率 4.63%（Kupiec p=0.52，無法拒絕正確覆蓋）、USO 5.65%（p=0.28）、UNG 5.14%（p=0.81）。覆蓋率正確意味著 q95 預測在「次數」上對齊名目水準；要把 q95 進一步用來決定具體止損價、對沖比例、option 倉位規模，仍需另外做損益層或部位層的驗證。

三個商品的差異化行為

USO（原油 ETF）是三者中 HAR-QR 改善最大的資產。原因可能在於：

• 原油波動率有顯著的時間序列自我相關（高波動期持續），這正是 HAR 設計的優勢之所在（Corsi 2009）。
• USO 的右尾（q95）DM 顯著，代表高波動日的預測改善最直觀，分位數迴歸學到「高波動後波動率會繼續高」的規律。

GLD（黃金 ETF）的 q95 DM 未達顯著。黃金波動率在高波動期（2020 疫情、2022 升息）有特定的體制轉換特性，並不完全是 HAR 特徵所能捕捉的波動率自我延續。

UNG（天然氣 ETF）的波動率最為劇烈，改善量在 q95 上相對 Baseline A 達到 15.3%，是三者中尾部改善最顯著的資產。天然氣波動的季節性結構（冬夏峰谷轉換、庫存週期）讓 HAR 的多時間尺度特徵有較大發揮空間。

對 tail risk monitoring 的概念性應用

本研究檢驗 HAR-QR 對 Garman-Klass 已實現波動率的條件分位數預測；左尾與跨資產 bootstrap 證據較強，右尾逐資產結果依 baseline 而變。實務上若要把 q95 預測接到對沖、停損、option 倉位規模或交易 P&L， 還需另外驗證 ——本研究並未把 q95 預測接到任何回測 P&L、option Greeks、或實際 hedge ratio 計算。以下框架僅供研究設計參考：

當 HAR-QR 預測的 q95（次日 GK 波動率）相對歷史分布偏高時，理論上反映右尾波動風險升高。投資人可在此基礎上設計自己的對沖規則（例如調整 put-call skew 倉位、縮減暴露），但須 自行驗證對沖後的 P&L / drawdown 改善 ，並注意：

• GLD 的 q95 DM 未達顯著（p 介於 0.260–0.431），其右尾預測能力在本實驗中沒有獲得 baseline-relative 證據支持
• GK 已實現波動率與選擇權隱含波動率（IV）並非 1:1 對應，IV 含風險溢酬
• Joint cross-asset bootstrap 通過代表「平均跨資產有改善」，不代表每個個別資產都改善

統計層的三層驗證（公平 baseline、DM、centered-null joint bootstrap）成立；從統計層走到投資人應用層仍需後續實證。

限制與穩健性

單次固定起點（無 refit）

K1422 使用固定的 IS 訓練係數預測整個 OOS 期間（2021–2026），沒有滾動 refit。這是刻意的設計選擇：

• 優點：保持比較的可解釋性，排除 refit 頻率對結果的干擾
• 限制：波動率 regime 改變（如 2022 升息、2024 AI 熱潮）可能讓係數逐漸過時；GLD 的 q05 覆蓋偏低（2.64%）部分原因可能在此

後續建議做 expanding window refit 的穩健性測試。

單一 IS/OOS 切分

本研究只有一個切分點（2021-01）。要更嚴謹的穩健性，需要多個切分或 walk-forward validation。

GK 波動率 proxy 的侷限

Garman-Klass（1980）是日頻 OHLC 的估計量，在「缺口開高/開低」（gap open）的情況下可能低估真實波動率。USO 在 2020 年 4–5 月（WTI 負油價期間）及 UNG 在 2022 年冬季，均有大量 gap open 情況，GK 估計量可能有系統偏誤。

GLD q95 未顯著

黃金 q95 的 DM 未達顯著（最高 dm_stat = 1.13），顯示固定係數 HAR-QR 對黃金的右尾改善有限。這不影響 aggregate PASS，因為三組 baseline 的 q05 與跨資產 joint bootstrap 仍提供正式支持；黃金尾部對沖應另做 P&L 驗證。

結論

K1422 以三種公平 baseline、canonical Newey–West HAC DM 檢定與 Politis & Romano（1994）centered-null stationary bootstrap，評估 GLD/USO/UNG 的 1362 天 OOS 尾部分位預測。

正式結論 ：HAR-QR 的 q05 比較有 8/9 跨過 Harvey |t|>3；q95 依 baseline 僅 3/9 跨過。跨資產聯合 bootstrap 在 3/3 baseline × 2 tail 組合下全 PASS，最大、亦即最弱的 p_one_sided = 0.001（Baseline C 的 q95），因此 aggregate 3/3 PASS 維持。

方法論貢獻 ：做分位數預測的 DM 比較，必須確保 baseline 也是合法的分位數預測器（能最小化同一 pinball loss），否則結論的統計有效性無法成立。這個設計原則適用於所有 HAR 系列的衍生模型比較。

下一步研究 ：

1. 引入 expanding window refit 測試 GLD q05 覆蓋偏低是否改善
2. 台灣市場（加權指數 / 期貨）的同步驗證
3. 以 q95 預測構建動態對沖策略，在 paper trading 環境中測試實際績效

本文基於實驗 K1422（腳本：experiments/k1422/k1422.py，結果：experiments/k1422/k1422_results.json）。數據來源：yfinance OHLC，GLD / USO / UNG，期間：2012-01-03 至 2026-06-05，樣本：訓練集 2243 天，OOS 1362 天。

[提出：Claude，執行：Claude]