Bayesian SSVS 再次確認：GJR-GARCH 方差方程自足，0/8 外生變數通過篩選

研究背景與動機

GJR-GARCH 模型的方差方程在描述 SPY 波動率動態上已被反覆證實具有高度自足性。K821 實驗（2026-03）曾對 8 個市場外生變數（VIX 水準、VIX 變動、VIX9D、VVIX proxy、TLT 波動率、HYG 信用差距、期限利差、SPY 成交量比率）進行 Bayesian SSVS（Stochastic Search Variable Selection）篩選，結果 0/8 通過 PIP > 0.5 門檻，最高僅 HYG_spread PIP=0.4275。

K895 設計了更具針對性的第二輪實驗：將外生變數替換為 VIX 衍生品與跨資產收益率 （VIX9D、VIX3M、VIX 期限結構比率、TLT、GLD、UUP），探索這些更直接關聯波動率資訊的變數是否能通過 SSVS 篩選，進入 GJR 方差方程。

方法論

SSVS 框架（So, Chen & Liu, 2006）

SSVS 是一種 Bayesian 變數選擇方法（George & McCulloch, 1993, 1997），對每個候選外生變數 $X_{i,t-1}$ 引入潛在二元指示變數 $\delta_i \in \{0,1\}$。方差方程如下：

$\sigma^2$t = $\omega$ + $\alpha$\varepsilon^2{t-1} + $\gamma$ I(\varepsilon<0)\varepsilon^2_{t-1} + \beta$$\sigma^2{t-1} + \sum_i \delta_i \cdot $\theta_i$ \cdot X{i,t-1}

先驗分配採用 spike-and-slab 設計：當 $\delta_i = 0$（未選入），$\theta_i$ 的先驗方差極小（spike，$c_{\text{spike}} = 0.01$）；當 $\delta_i = 1$（選入），方差放大為 OLS SE 的 10 倍（slab，依 So et al. 2006 校準）。後驗納入機率（PIP）定義為 $P(\delta_i = 1 | \text{data})$，以 PIP > 0.5 作為「中位機率模型（median probability model）」入選標準。

MCMC 設定 ：Gibbs sampler，共 20,000 次迭代，燒入期 5,000 次，有效樣本 15,000 次。

樣本設計

• 資產 ：SPY，yfinance，2011-01-03 至 2026-04-02（共 3,835 個交易日）
• 估計期 ：前 3,020 天（樣本內）
• 樣本外評估 ：後 752 天，2023-01-03 至 2025-12-31，每 126 天（半年）重新估計一次

基礎 GJR-GARCH 參數（MLE）

持續性 ≈ 0.98，確認模型本身已高度捕捉方差動態。

核心結果：0/8 外生變數通過篩選

樣本內 PIP 表

所有 8 個變數的 PIP 遠低於 0.5 門檻。其中 VIX_change 最高（PIP=0.356），但仍未達標。值得注意的是，OLS 係數的數值有時看起來顯著（VIX_level OLS=-0.540），但 SSVS 的 Bayesian 後驗已正確地「縮減」這些係數，揭示其在競爭其他解釋力後並無實質增量貢獻。

樣本外 OOS 評估（QLIKE on r²，2023-2025）

SSVS 中位模型與 GJR 基準完全相同（DM=0.00），因為 SSVS 選擇了空模型（0 個變數）。Kitchen Sink 在樣本外 QLIKE 改善 4.23%，DM t=-3.63 達到 Harvey (2016) |t|>3.0 門檻，但這是 過度配適的危險信號 ，而非真實改善。

SSVS 樣本外 6 次重估均選空模型

從 2023-01 到 2025-07，每半年重估一次的 SSVS 結果均顯示所有 8 個變數 PIP 遠低於 0.5：

• VIX_change 的 PIP 跨期間在 0.11-0.36 之間波動，無一達標
• 最晚一期（2025-07）受市場結構變化影響，部分 PIP 略微上升，但最高仍只有 TLT_ret PIP=0.233

敏感性分析：先驗寬嚴不影響結論

更換 spike 方差 $c_{\text{spike}}$（0.001/0.01/0.05/0.1）進行敏感性分析，4 種設定下 0/8 變數在任何設定下通過 0.5 門檻 。隨著 spike 放寬（c_spike 增大），PIP 普遍上升但仍均勻分散，說明變數間競爭激烈、無明顯贏家。

為何 Kitchen Sink DM t=-3.63 不能信任？

Kitchen Sink 的樣本外 QLIKE 改善 4.23% 看起來誘人，但存在以下問題：

1. 多重比較 ：256 個可能模型中，任何固定配置的樣本外優勢都需要更高的統計門檻
2. SSVS 已明確拒絕 ：Bayesian 框架在樣本內給每個變數 PIP < 0.36，即使強制全選也是反 SSVS 建議
3. OOS 期間只有 752 天 ：統計效力有限，4.23% 的改善幅度無法排除偶然性
4. Spearman $\rho$ 提升有限 ：0.252 → 0.306，排序相關性改善不如 QLIKE 數字顯眼

正確結論：Kitchen Sink 的 DM 顯著性是在 multiple testing context 下的雜訊，不是真實的預測力提升。

與 K821 的對比：兩次實驗，相同結論

兩輪 16 個不同外生變數，結論完全一致： GJR-GARCH 方差方程在 SPY 上具有自足性，外生變數無法提供可靠的增量預測力。

研究意涵

對策略應用的啟示 ：12/VIX 等簡單策略的有效性不在於「VIX 改善了 GARCH 的方差預測」，而在於 VIX 作為 $\sigma$ 水準的代理變數，直接調整持倉規模。GARCH 方差方程本身已充分捕捉了 VIX 所反映的波動率動態，疊加 VIX 衍生品變數是冗餘的。

對模型設計的啟示 ：高持續性（$\alpha$+$\gamma$/2+$\beta$≈0.98）的 GARCH 在方差方程中已極為「飢渴」，過去殘差和過去方差幾乎解釋了所有可預測的方差變動，外生變數的邊際貢獻近乎為零。

局限性

• 兩段式做法（先固定 GARCH，再用 SSVS 篩選方差殘差）可能遺漏聯合動態
• r² 是 $\sigma^2$ 的噪聲代理（Patton 2011），雖 QLIKE 對此 proxy-robust，但仍有低頻效應
• VIX9D 與 VIX3M 歷史較短（2011 後才有），長期穩定性需進一步驗證
• 日頻分析，未捕捉日內資訊

實驗腳本 ：experiments/k895_ssvs_arx_garch.py
結果數據 ：experiments/k895_ssvs_arx_garch_results.json
數據來源 ：yfinance（SPY、VIX9D、VIX3M、TLT、GLD、UUP）；期間：2011-01-03 至 2026-04-02
參考文獻 ：So, Chen & Liu (2006) JRSS-C 55(2):201-224；George & McCulloch (1993) JASA；Patton (2011) QLIKE；Harvey (2016) |t|>3.0