K1922：回撤狀態曝險規則對比波動率目標，美國市場 1926–2026 的 19 條規則家族檢定

持有指數部位的人，在指數從高點下跌之後要不要減碼，常見的依據有兩類：近期波動率（波動率目標，VT），以及指數離前高多深、離前高多久（回撤狀態）。這篇在美國市場的長期日資料上比較兩者，問題是： 把風險調成與 VT 相同之後，以回撤狀態決定曝險的規則，能不能穩定地勝過 VT？ 

在 1926-12 至 2026-06 共 26,148 個交易日、19 條規則的家族、單邊 10 bps 成本之下，兩個預先註冊的檢定都沒有證據。規則取代 VT（H1）的 Hansen SPA_c p 值是 0.5868，規則疊加在 VT 之上（H2）是 0.2086，門檻同為 0.005。本文的結論帶有兩項限定：非盲設計，以及推論程序事後修訂，見「限制」。這個結果對讀者有三層意義。其一，維護一層回撤狀態規則需要兩個切點、兩個曝險參數，並且每天重算深度與距前高天數；最佳規則的年化單邊換手是 2.00，VT 是 0.59。在這個樣本裡，額外的規則複雜度與換手沒有換到通過檢定的優勢。其二，繼續在同一份美國市場資料上調整切點或曝險網格，只會擴大挑選的範圍；要往下做，需要新的狀態變數或獨立樣本。其三是檢定力的邊界：以三倍標準誤計，年化優勢小於約 1.7 個百分點（H1）與 1.2 個百分點（H2）的規則，這個樣本偵測不到，所以結論停在「沒有證據」，不延伸到「沒有效應」。

資料與比較口徑

•  資料 ：Kenneth R. French 資料庫的美國市場因子日資料，以 Mkt-RF 加 RF 作為市場總報酬，1926-07-01 至 2026-06-30 共 26,274 列。VT 需要 126 列歷史，評估樣本從 1926-12-03 起，共 26,148 列。時代切分為 A（1926–1966，11,177 列）、B（1967–1999，8,309 列）、C（2000–2026，6,662 列）。
•  基準 ：VT 以 126 列滾動波動率、年化目標 12%、曝險上限 1、日度再平衡，單邊成本 10 bps。淨 Sharpe 0.529，平均曝險 0.835；買進持有的 Sharpe 是 0.456，最大回撤 84.1%。
•  回撤狀態規則（16 條） ：以指數自身的深度（距前高的跌幅）與距前高的交易日數分格。深度達切點稱為「深」，其中距前高不超過日數切點者為「新」，超過者為「舊」，不深時全額持有。兩組切點為 10%／126 列與 20%／252 列；「深且新」與「深且舊」兩格各自的曝險取自 {0, 0.5, 1}，扣掉兩格都為 1 的組合。規則代號 S_c10_126_f{x}_s{y} 表示第一組切點，深且新格曝險 x，深且舊格曝險 y。狀態用 t-1 的收盤形成，作用在 t 日報酬。
•  Grossman–Zhou 結構（3 條） ：以策略自身淨財富相對其高點的回撤決定曝險，α 取三個值（規則代號 G_a70、G_a80、G_a90）。
•  兩個家族 ：H1 以規則的曝險取代 VT 的曝險；H2 把規則的曝險乘在 VT 的曝險上。兩者都對同一個 VT 基準比較。
•  風險匹配 ：曝險上限 1、不放空，其餘持現金。匹配差 = λ·規則報酬 − VT 報酬，λ 是使兩者全樣本波動相等的常數，匹配差的均值等於 VT 波動單位下的 Sharpe 差。λ 是報告用的標準化，不是可交易規則。
•  檢定 ：Hansen SPA_c（B = 10,000、平均區塊 22 列，另報 10、44、126 列），λ 在每次重抽內以重抽樣本重估，控制從 19 條規則挑最好者造成的偏誤。「最佳規則」指 SPA_c 的 studentised 統計量最大者，並另做 Ledoit–Wolf 風格的 Sharpe 差檢定（HAC 落後 13 期，並做 studentised bootstrap）。結論要成立，下列條件須同時滿足：SPA_c p 在四個區塊長度都低於 0.005、Sharpe 差 |t| 高於 3、至少兩個時代為正、leave-one-era-out 至少兩個留出期為正、25 bps 成本下為正、對事後最佳 VT 為正。

圖 1 的下半部是深度序列。評估樣本中，10%／126 列切點的深且新格有 979 個交易日，深且舊格有 9,169 個交易日。深且新格是規則能做出差異化的部分，樣本量遠小於另一格。

結果：兩個家族都沒有達到門檻

H1 的最佳規則在深且新格全數減碼、深且舊格減為半倉。它對 VT 的 Sharpe 差是 0.049，HAC 標準誤 0.048，t = 1.00，標準誤與估計值同一量級。SPA_c p 值在區塊 10、22、44、126 列分別是 0.5933、0.5868、0.5696、0.5688，區塊長度的選擇沒有改變結論。

H2 的最佳疊加在深且新格與深且舊格都減為半倉。Sharpe 差 0.063，HAC 標準誤 0.036，t = 1.77；對這一條規則單獨做的 studentised bootstrap 雙尾 p 是 0.0804，沒有計入「從 19 條裡挑最好」。把挑選計入之後，SPA_c p 在四個區塊長度是 0.1981、0.2086、0.2232、0.2343。單條檢定看起來接近邊緣，家族檢定不支持它。

圖 2 把 16 條回撤狀態規則的年化匹配差畫在（深且新格曝險，深且舊格曝險）的網格上，藍色為正、紅色為負。切點 20%／252 列的 H1 規則年化差全部為負；H2 有 2 條為正，數值都在 0.2 個百分點以內。切點 10%／126 列有 4 條 H1 規則與 7 條 H2 規則為正。深且舊格也維持全額曝險的規則在 H1 全部為負。正值集中在深且新格明顯減碼、深且舊格適度持有的區域，其餘區域沒有可辨認的優勢。

圖 3 的兩條曲線在 2000 年前後達到高點，之後回落。這與時代 C 的年化差在兩個家族都為負一致（見下節）。

成本、時代與留出期

成本臂把單邊成本改為 0、5、25、50 bps，其餘不變。表中是單邊成本 10 bps 時選出的兩條最佳規則，成本改變時不重新選規則，對 VT 的匹配年化差，單位為個百分點；VT 同樣按該成本計費。

H1 的優勢隨成本上升而消失，50 bps 時為 -0.03，這與它的換手高於 VT 一致。H2 在 50 bps 仍為正，但從 +0.86 縮到 +0.21。

時代切分顯示優勢不穩定。下表第二、三欄是固定規則在各時代的年化差；第四到六欄是 leave-one-era-out：留出一個時代，用其餘兩個時代的資料選規則，再看留出期的年化差。

時代 B（1967–1999）貢獻最大，時代 C（2000–2026）在兩個家族都是負的。H1 在三次留出中只有一次為正，而且訓練期選到的規則隨留出時代改變：留出 A 時選 S_c10_126_f0.5_s0.5，留出 B 與 C 時選 S_c10_126_f0_s0。規則排名隨時代改變，與樣本內挑選造成的差異一致，也與狀態資訊的價值隨時代變動一致；這個樣本分不出兩者。H2 有兩次留出為正，但三個留出期的符號仍隨時代而變。

對事後最佳 VT 的比較

36 組 VT 設定（視窗 × 目標波動 × 上限）中，事後最佳者視窗 252 列、目標波動 15%、上限 2，淨 Sharpe 0.569，平均曝險 1.183，即含有槓桿。主基準的 Sharpe 是它的 0.931 倍。改以事後最佳 VT 為對照，兩個最佳規則的年化匹配差分別降到 +0.14（H1）與 +0.38（H2）個百分點。VT 本身的設定選擇所造成的差距，與規則帶來的差距同一量級，這是上表所有優勢都應該小心讀的原因。

回撤差異（次要檢定）

回撤是狀態規則的主要賣點，但兩條曝險不同的路徑不能直接比最大回撤：曝險較低的一方，回撤機械性較淺。所以這裡把 VT 以常數放大或縮小到與規則相同的實現波動，再比最大回撤，稱為曝險匹配回撤差，正值表示規則較淺。對照的虛無分布由循環位移產生：把規則的曝險路徑整段平移，保留路徑形狀而破壞它與報酬的相位，每一個位移都算一次同樣的差。

H1 最佳規則的整段樣本曝險匹配回撤差是 +1.67 個百分點，單尾 p = 0.2079，Holm 調整後 0.8113。位移虛無分布的中位數是 -10.47 個百分點，5% 至 95% 分位數是 -17.25 到 +7.60；實際值落在分布之內（圖 4）。分時代看，時代 B 的差是 +9.31，原始 p = 0.0412，Holm 調整後 0.2470；時代 C 是 -8.07，符號相反。

H2 最佳疊加的整段樣本差是 +13.43 個百分點，單尾 p = 0.0508，接近 0.05，但 Holm 調整後是 0.2541。時代 B 與 C 的原始 p 分別是 0.0247 與 0.0326，調整後是 0.1974 與 0.2280。任何一格在校正後都沒有拒絕虛無分布。

描述性對照（不進任何檢定家族）

 距前高天數是否有資訊。  規則把「深且新」與「深且舊」分開處理，這裡比較有區分的最佳規則與只看深度的最佳規則。切點 10%／126 列：有區分者 +0.56，只看深度者 +0.64；切點 20%／252 列：有區分者 -0.29，只看深度者 -0.33。兩組差距都遠小於 H1 最佳規則的標準誤（約 0.56 個百分點），所以這個樣本分不出時間維度有沒有增加資訊。

 趨勢規則。  同一資料上的兩個簡單趨勢規則被當作參照：價格在 200 日均線之上才持有（SMA200），以及過去 252 列報酬為正才持有（TSMOM252）。它們對 VT 的年化匹配差分別是 +1.67%（重抽樣標準誤 0.95%）與 +0.62%（0.83%），與 H1 最佳規則的曝險相關為 0.54 與 0.58。SMA200 的年化單邊換手是 5.42，成本已計入。這兩個數字沒有計入挑選、也沒有預先設定的門檻，只能當描述，不構成任何主張。

 其他市場的複驗。  描述性地套用 H1 最佳規則：^GSPC（價格指數、不含股息，4,042 個評估列，2010-06 起）對 VT 的年化差是 -0.40 個百分點，VT 的 Sharpe 是 0.632；0050.TW（4,201 個評估列，2009-07 起）是 -0.38 個百分點，VT 的 Sharpe 是 0.845。^GSPC 在 10%／126 列切點的深且新格與深且舊格各只有 288 個交易日（整段序列），樣本太短，無法作為複驗，這裡只報方向。

管線檢查（負對照）

兩個負對照確認管線能辨認不該有的優勢。把狀態改為不延遲（用 t 日收盤決定 t 日曝險，等於洩漏一列），某條只看深度的規則年化差從正確延遲的 +0.64 升到 +5.42 個百分點。把 H1 最佳規則的曝險值整段平移半個樣本，破壞相位，年化差從 +0.56 變成 -1.90 個百分點。洩漏版本的差距約為正確版本的八倍，所以本文 0.5 個百分點量級的差距遠小於同日資訊洩漏會產生的量級。

限制

•  非盲設計 ：樣本、時代切分、切點與門檻是在看過 K1920（2016–2026 的 SPY、QQQ、TLT、GLD 版本，回撤 episode 太少而停止）的資料檢查結果，以及本實驗第一版資料檢查的全部數字之後才定的。引用本文結論須帶這個限定。
•  門檻放寬 ：資料檢查要求深且新格的日數下限，整段樣本由 1,000 降為 900、時代內由 250 降為 200，是在看過 979 與 241 之後才改的；episode 數的下限與其他條件不變。
•  推論程序事後修訂 ：SPA_c 在每次重抽內重估 λ 的作法，是看過第一次執行的結果之後，以預註冊附錄加入的，不在原預註冊之內；修訂使兩個家族的 p 值都變大，判定沒有改變。
•  規則家族有限 ：19 條規則只涵蓋兩組切點與一組曝險網格，沒有測試其他切點、連續曝險函數或多狀態變數。
•  λ 不可交易 ：λ 用全樣本波動估計，只是報告用的標準化；λ 大於 1 代表未計融資成本的槓桿（H1 最佳規則的 λ 是 1.022，H2 最佳疊加是 1.259）。
•  成本只計比例成本 ：不含價差與市場衝擊，也不反映 1975 年以前的固定佣金；50 bps 臂是時代 A 的最近似。
•  早期資料 ：1952 年以前的資料含週六交易日，126 列短於六個月，√252 年化略偏；規則與基準同受影響，未校正。
•  結論強度 ：本文只陳述 H1 與 H2 的具名檢定結果。結論限於這個樣本、這個 19 條規則的家族與這組成本和延遲設定；它不是「沒有效應」的證明，也不是策略上架的證據。

資料來源：Kenneth R. French Data Library 美國市場因子日資料（Mkt-RF 與 RF，1926-07-01 至 2026-06-30）；描述性複驗使用 ^GSPC 與 0050.TW 日資料。實驗 K1922，預註冊、凍結輸入與重現規格見 experiments/k1922_underwater_long_history/。