預估最壞一天的虧損：常態假設在四格測試都被抓到低估，厚尾模型的名次隨標的而變、差距多半看不出來

摘要

同一套波動率模型、四種「極端下跌長什麼樣」的假設，在美股大盤 ETF（SPY）和高收益債 ETF（HYG）上各測 5% 與 1% 兩個風險水準，共四個測試格。日報酬從 2007-04-12 到 2026-07-02（4,837 天），樣本外從 2015-01-01 起算，每格 2,891 個交易日。

結果可以分成兩層，穩的在前面：

•  常態假設不夠，這一層最穩。  用「預期損失」（ES，跌破 VaR 時平均會虧多少）的累積證據去檢查，常態假設在四格都升到最高一級警報（門檻 10）；Student-t 在 2 格升到 10；歷史殘差（FHS）在 1 格；極值理論（EVT）在 0 格，最高只到 5。
•  厚尾模型之間誰贏，要看標的，而且差距多半沒有過門檻。  聯合評分（同時打 VaR 與 ES 的 Fissler-Ziegel 損失）的最佳模型，SPY 兩格是 EVT，HYG 兩格是 Student-t。但這個排序只是點估計：EVT 對三個對手共 12 組比較裡有 3 組通過 Harvey 的 |t| > 3 門檻，全是 EVT 勝；HYG 上 Student-t 的領先沒有一組過門檻（t 為 −1.78 與 −2.24）。

所以能說的是「沒有一種尾部假設通吃」，不能說的是「股票用 EVT、信用債用 Student-t」。兩個標的各只有一檔，這個結果不夠把它推成通則。

為什麼測這個

銀行與基金估風險，現在愈來愈看 ES 而不只是 VaR（巴塞爾委員會 2019 年的市場風險資本規則就以 ES 為準）。VaR 回答「除了最糟的那一小撮日子，一天最多虧多少」，ES 回答「真的跌破那條線的時候，平均虧多少」。估 ES 要先假設尾巴的形狀，常見做法是用 GARCH 類模型估當天的波動，再把報酬除以波動，剩下的殘差去配一個尾部形狀。

這次固定波動模型（GJR-GARCH，每年以擴張的歷史窗口重估一次），只換尾巴：

•  常態 ：尾巴細，極端下跌被當成罕見。
•  Student-t ：厚尾，並用單位變異數標準化後再取分位數。
•  FHS（歷史殘差） ：不假設形狀，直接用訓練期的殘差經驗分布。
•  EVT ：最極端的前 10% 殘差用極值理論的一般化 Pareto 分布配尾巴。

標的選 SPY 與 HYG，是為了看「股票指數」和「信用債 ETF」的尾巴會不會要求不同的處理。

結果一：常態假設在四格都被抓到低估 ES

預期損失的檢查用的是序列式 e-backtest（Wang、Wang 與 Ziegel 的 e-值框架）：每天拿實際跌破 VaR 的幅度和模型預測的 ES 比，累積成一個證據分數（250 天視窗），分數升到 2、5、10 三個門檻，代表「模型低估了 ES」的證據一級比一級強。

• 常態：四格全部升到 10。在 SPY 1% 這一格，常態的實際跌破率是 1.87%，目標是 1%。
• Student-t：越過 2 的有 3 格，升到 10 的有 2 格（SPY 兩格）。
• FHS 與 EVT：各只有 1 格越過 2，都是 SPY 1%；FHS 在那一格升到 10，EVT 最高只到 5。

另一個角度是跌破 VaR 的那幾天，實際平均損失除以模型預測的 ES。常態在四格都高於預測值（比值 1.10 到 1.28），也就是實際比預測更慘：

這個比值只用跌破日（5% 格的跌破日有一百多天，1% 格只有十幾到五十幾天），1% 格雜訊大，只看方向。EVT 在 SPY 1% 的比值也是 1.16，沒有完全消除低估，只是證據分數沒有累積到高門檻。

結果二：厚尾模型之間的聯合評分，差距多半沒有過門檻

聯合評分的最佳者在 SPY 兩格是 EVT，在 HYG 兩格是 Student-t。下表是各對手的損失減去 EVT 的損失（正值代表 EVT 較好），括號內是 Diebold-Mariano 的 t，★ 表示 |t| 超過 3.0（Harvey 門檻）：

• EVT 有 3 組通過門檻：SPY 5% 對 FHS（t 3.34）、SPY 1% 對常態（t 3.01）、HYG 1% 對 FHS（t 3.00）。其中兩組的 t 只比 3.0 多一點，對 FHS 的損失差也很小。
• EVT 沒有任何一組輸到過門檻。
• HYG 上 Student-t 的領先（t −1.78、−2.24；後者雙尾 p = 0.025）沒有過 Harvey 門檻。比較總共有 12 組，沒有再做多重檢定校正，這些勝負只能當描述。

結果三：校準面，EVT 在 HYG 1% 偏保守，Student-t 的 5% 偏鬆

下表是實際跌破 VaR 的比例，括號內 ✓ 為 Kupiec 檢定未拒絕、✗ 為拒絕：

•  Student-t 在兩個標的的 5% 都跌破太多 ：SPY 為 6.16%（Kupiec p = 0.006），HYG 為 5.88%（p = 0.034）。它在 HYG 5% 仍是聯合評分第一，所以聯合評分第一和覆蓋率檢定通過是兩回事，兩者衡量的東西不同。
•  EVT 在 HYG 1% 偏保守 ：跌破率只有 0.59%（目標 1%，Kupiec p = 0.016），FHS 是 0.55%（p = 0.008）。保守的模型不會被 ES 的 e-backtest 抓到，因為它只檢查低估，所以這一格的缺點要看覆蓋率才看得到。
• EVT 在 HYG 5% 的獨立性檢定 p = 0.036，跌破日有成串出現的跡象。

這個結果能怎麼用

• 如果你還在用常態假設估 ES，這一組資料的方向很清楚：在兩個標的、兩個水準上，它都被 ES 低估證據打到最強警報。
• 如果你在厚尾模型之間選，不要只看聯合評分的名次。這裡差距多半沒有過門檻，名次會隨標的、水準翻轉；改用覆蓋率與 ES 低估警報一起看，才看得出 Student-t 的 5% 偏鬆與 EVT 在 HYG 1% 偏保守。
• 「EVT 比 Student-t 好」或「信用債要用 Student-t」都超出這份證據。

限制

這組實驗的程式經 Codex 審查，結論是 有條件通過 ：沒有發現會推翻主要結論的錯誤，但列出以下限制，也是這篇結論的範圍：

•  只有兩檔標的的日頻還原收盤價診斷 ，不是完整的監理投資組合，也沒有用到盤中資料。
•  EVT 的門檻固定在前 10% ，沒有做門檻敏感度網格；結論是「有競爭力，未主導」，不是「EVT 較好」。
•  波動模型每年重估一次（擴張窗），不是 250 天滾動估計 ，與監理實務的估計方式不同。
•  「Basel」區間是依本樣本的 2,891 天算出的二項分布區間（例如 5% 水準的綠區上限是 164 次跌破） ，不是監理實務的 250 天計次規則；表中只引用 Kupiec 與 e-backtest，沒有用它下結論。
•  12 組聯合評分比較沒有多重檢定校正 ；每格的跌破次數有限，1% 水準的樣本尤其少。
•  兩個標的各一檔、時間只有 2015 年至 2026 年 ，標的差異不能推成資產類別的通則。

資料與復現

• 資料：SPY 與 HYG 的還原收盤價，已凍結於 experiments/research_evt_pot_gpd_garch_filter_es_e_backtesting/prices_spy_hyg_2007_2026.parquet；日報酬區間 2007-04-12 至 2026-07-02，樣本外從 2015-01-01 起。
• 程式與結果：experiments/research_evt_pot_gpd_garch_filter_es_e_backtesting/research_evt_pot_gpd_garch_filter_es_e_backtesting.py、experiments/research_evt_pot_gpd_garch_filter_es_e_backtesting/research_evt_pot_gpd_garch_filter_es_e_backtesting_results.json；重跑核對報告為 reproduce_report.json（1,044 個值在事先宣告的容差內全數相符）。
• 文中數字取自結果檔的具名欄位；圖是用結果檔的既有數值重畫，沒有重新估計。