K1526：日頻下行半變異數加進 VIX 迴歸，換來的是更大的標準誤，不是新資訊

月頻股票報酬的預測迴歸裡，VIX 幾乎是標準控制變數。如果手上另有一個由日資料算出的下行尾部量尺，實務上要決定的是： 把它加進已經有 VIX 的迴歸，值不值得？  K1526 用 SPY 二〇一〇年一月到二〇二六年七月中的日資料回答這一題。198 個月的樣本給出的答案是：下行半變異數單獨看過了 Harvey |t|>3 的門檻，但它和 VIX、VRP 共享大部分資訊；加入控制變數後，它的標準誤放大，點估計並沒有變小。焦點規格 ES＋VIX 在樣本外沒有贏過歷史平均數。

規格與變數

依變數是下個月 SPY 的超額報酬（日對數報酬減 ^IRX 換算的日無風險利率，月內加總）。解釋變數全部在第 t 月月底定值：

•  RDSV ：月內下跌日報酬平方的加總（下行半變異數）。
•  ES_d ：月內最差百分之五交易日的平均跌幅（日頻預期短缺近似）。
•  vix_end ：月底 VIX 收盤。
•  VRP_d ：(vix_end/100)² / 12 減當月實現變異數。

五個巢狀規格：M1 只放 ES_d，M2 只放 RDSV，M3 放 ES_d 與 vix_end（本實驗事前指定的焦點規格），M4 再加 VRP_d，M5 四個變數全放。標準誤一律用 Newey-West HAC。

樣本內係數表

這張表有三個讀法，每一個都對應一個常見的誤讀。

一、RDSV 在全規格不顯著，是標準誤放大，不是效果消失

RDSV 從 M2 到 M5，t 值由 3.34 掉到 0.61。但係數本身由 2.151 變成 3.831，沒有縮小；變的是 HAC 標準誤，由 0.643 升到 6.266。這是典型的共線性形狀：RDSV、ES_d 與 VRP_d 裡的實現變異數項量的是同一個月的下跌強度，迴歸無法把效果分配給其中任何一個。

所以 M5 的結論是「這份資料無法區分 RDSV 與其他下跌量尺的貢獻」，不是「RDSV 的效果被 VIX 解釋掉了」。兩種讀法對下一步研究的指示不同：前者要的是更長的樣本或正交化的建構方式，後者則是放棄這個變數。

二、ES_d 翻成顯著負號，是抑制效應，不是負的尾部溢酬

ES_d 單獨時 t 值 +1.24；加入 vix_end 變成 -0.59；再加 VRP_d 變成 -1.83；四個全放變成 -2.03（p 值 0.043）。符號翻轉且越控制越顯著，是抑制變數的標準症狀：在 VIX 與 RDSV 已經吸收掉共同的下跌成分之後，ES_d 剩下的只是它與另外兩者不同的那一小部分殘差，而這個殘差的係數沒有「尾部風險被負向定價」的經濟意義。報告 M5 的 ES_d 係數而不同時報告 M1 的正號，會把一個共線性產物寫成一個發現。

三、VIX 的顯著性依規格而定

vix_end 的 t 值在 M3 是 1.87，在 M4 是 3.49，在 M5 是 1.10。唯一越過 3 的 M4，控制了 VRP_d；而 VRP_d 的定義是 VIX 平方項減實現變異數，本身含有 VIX。控制 VRP_d 等於在部分控制實現變異數的條件下看 VIX，t 值 3.49 是這個條件下的數字。

先前〈經典論文搬到 OOS 會崩嗎？我們驗了 Bollerslev (2009)〉（K1040）的結論是能預測月報酬的是 VIX 本身而非 VRP。K1526 的資料不推翻這句話，但補上一個限定：在這份樣本裡，VIX 的顯著程度隨一同放入的下跌量尺而改變，三個規格中只有一個越過 3。

樣本外：焦點規格 ES＋VIX

樣本外只檢驗了事前指定的焦點規格 M3，做法是 60 個月滾動視窗、以歷史平均報酬為基準，考 138 個月。

• Campbell-Thompson 樣本外 R²：-4.57%。
• 歷史平均數是 M3 斜率全設為零的受限版本，兩個預測是巢狀關係，所以主檢定用 Clark-West（2007）MSPE 調整檢定，而不是 Diebold-Mariano。結果 t 值 -0.21，單尾 p 值 0.584。
• 原始平方損失差的一階自相關是 0.297，所以 Clark-West 使用 Bartlett-HAC，lag 為 6；在這個自相關水準下，用獨立同分布的變異數會低估標準誤。
• 區塊 bootstrap（重抽 1000 次、全部有效、固定種子 42）下，樣本外 R² 的 95% 區間是 -13.5% 到 9.9%。

同一組 bootstrap 也給了 M3 兩個係數的 t 值區間：ES_d 為 -3.11 到 1.50，vix_end 為 -0.32 到 5.37。兩個區間都跨過零；vix_end 的全樣本 t 值 1.87 落在區間偏左的位置，右尾很長。這和樣本外的結果一致：M3 的樣本內訊號本來就不穩。

 有一格這份實驗沒有填：RDSV 的樣本外表現。  樣本內唯一越過 Harvey 門檻的是 M2，而樣本外只考了 M3。所以本文能說的是「焦點規格樣本外沒有增量預測力」，不能說「RDSV 樣本外失敗」。要回答後者，需要一次事前登記、以 M2 為焦點的樣本外檢驗；若在看過本表之後才挑 M2 去考，那次檢驗的 p 值就帶著選擇偏誤。

附帶驗證：VIX 預測的是波動

同一份資料把下個月的實現變異數對 ES_d 與 vix_end 回歸，R² 為 0.214，vix_end 的 t 值 1.98、p 值 0.0477，ES_d 的 p 值 0.325。隱含波動預測實現波動是教科書結果，這裡的作用是確認資料與變數建構沒有出錯；ES_d 對下個月波動沒有邊際資訊，與它對報酬的結果一致。

與前作的關係

• 〈跌得越痛，下個月補得越多？回頭看像是有，拿來預測還輸給平均數〉（mile_d6dc97c6）是同一個實驗寫給一般讀者的版本，重點是「樣本內顯著不等於能事前使用」。本篇處理它略過的部分：完整係數與標準誤、三種共線性形狀的讀法、Clark-West 的設定理由，以及 RDSV 樣本外未檢驗這一格。
• 〈CBOE SKEW 真能補捉尾端風險嗎？〉（K447）用選擇權隱含的尾部量尺，結果為 NULL。K1526 刻意改用由實現報酬建構的截斷矩，避開 SKEW 與搜尋量類代理變數，月頻時間序列上同樣沒有找到超越 VIX 的樣本外資訊。

對研究設計的意思

• 在已含 VIX 的月頻報酬迴歸裡加入日頻下行矩，預期得到的是更大的標準誤，不是新資訊。要主張增量，至少要把下行矩對 VIX 與實現變異數正交化後再放入。
• 多個下跌量尺同時放入時出現的顯著負號，先當成抑制效應處理，再考慮經濟解釋。
• 樣本內最亮的規格與樣本外考的規格不同時，結論只能涵蓋被考過的那一個。

限制

• 實驗原本設計了五分鐘頻率的尾部溢酬，但免費資料源只提供約六十個交易日的日內資料，月度化後只有四個月，實驗標為概念驗證、不做推論；本文所有推論來自日資料。
• 日資料的 RDSV 與 ES_d 是尾部風險的近似，不是真正的高頻截斷矩，數值大小不可直接比較。
• 樣本外只用一種 60 個月視窗，視窗長度的敏感性未測；bootstrap 區塊長度的敏感性也未測。
• 無風險利率用 ^IRX 而非 FRED 的三個月國庫券利率。
• 樣本內只有二〇二〇年與二〇二二年兩段明顯下跌，下行事件少，檢定力有限。

資料來源：yfinance（SPY、^VIX、^IRX 日資料，二〇一〇年一月至二〇二六年七月中）；實驗 K1526，產物 experiments/k1526_hf_tail_risk_premium_vrp/（審查結果 PASS）。方法：Newey-West HAC 標準誤；Campbell-Thompson（2008）樣本外 R²；Clark-West（2007）巢狀 MSPE 調整檢定；區塊 bootstrap。